Ejemplo de una función continua que no tiene una extensión continua.

Question

Dar un ejemplo de un espacio topológico $(X,\tau)$, un subconjunto $A\subset X$ que es denso en $X$ (es decir, $\overline{A} = X$), y una función continua $f:A\to\mathbb{R}$ que no se amplía continuamente a $X$, es decir, un $f$ por tal, no existe una función continua $g:X\to \mathbb{R}$ tal que $f(x) = g(x)$ para todos los $x\in A$.

Me demostró que si $f,g:X\to\mathbb{R}$ son continuas y están de acuerdo en un subconjunto denso $A\subset X$ entonces son iguales.

Pensé en $X=\mathbb{R}$ con la costumbre de la topología y de la $A = \mathbb{R}-\{0\} =:\mathbb{R}^*\ $, así que creo que $f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}, f(x) = x^{-1}$ es una función continua que no se amplía continuamente a $\mathbb{R}$. Estoy muy seguro de esto, pero estoy atascado en demostrar que el uso de la definición de continuidad, en general, espacios topológicos.

También, estoy muy confundido sobre cómo este le preguntó ejemplo no es un contraejemplo de lo que he probado.

Gracias de antemano.

Answer 1

Definir $f(x)=1/x$ como lo hizo, y asumir que usted puede encontrar una extensión continua $g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Bueno, esto $g $ toma un verdadero valor numerado en $0$, es decir, $-\infty < g (0) < \infty $, y está de acuerdo con $f $ en valores distintos de cero.

Una definición de la continuidad es que, dada una red de puntos en $X $ convergentes a $x_0$ y una función de $g $, a continuación las imágenes convergen a $g(x_0) $. Desde $\mathbb{R}$ es un espacio métrico, podemos utilizar secuencias en lugar de redes. Pero dada una secuencia de números reales $(x_n )_{n=1}^{\infty} $ convergentes a $0$, la secuencia de $(g (x_n))_{n=1}^{\infty} $ converge, ya sea positivo o negativo $\infty $. Así que no converge a $g (0) $. Por lo $g $ no es continua

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Por CIERTO, respecto a tu pregunta sobre los resultados que demostrado. Se demostró un resultado acerca de dos funciones que se continua en todo el espacio, que están de acuerdo sobre un subconjunto denso. Pero la pregunta principal de tu post es con respecto a una función que no se supone que ser continua en todo el espacio, y su comparación con uno que es continua en todo el espacio. Así que el ejemplo no es la lucha contra el original de su resultado

Answer 2

El uso de secuencias es la manera más fácil de ir, pero por una más "topológica" de la prueba, para demostrar que no hay ampliación de la $f$ es continua en a$x=0,$ supongamos que hay una (le llamamos a esto $f$ por conveniencia), y nos muestran que hay un $\epsilon>0$ , de modo que para cualquier $\delta >0$, hay un $x\in (-\delta,\delta$), tal que$f(x)>f(0)+\epsilon$ (o $f(x)<f(0)-\epsilon$). Vamos a hacer el anterior.

Ahora, en un dibujo va a hacer la siguiente obvia:

Tome $\epsilon=1.$ Entonces, si $f(0)+1\le 0$, a continuación, $\text{any}\ x\in (0,\delta)$ va a hacer porque $f(x)=1/x>0.$

Si $f(0)+1> 0$, todo lo que necesita hacer es elegir a $x$ lo suficientemente pequeño como para que $f(x)=1/x>f(0)+1,$ es decir, elija $x<\min\{\delta, \frac{1}{f(0)+1}\}$

Answer 3

Otra razón: continua en toda la línea implica localmente delimitado cerca de cada punto.

Y otro contraejemplo basado en una idea diferente: $\Bbb Q$ es denso en $\Bbb R$ con la topología usual. La función $$f:\Bbb Q\longrightarrow\Bbb R$$ $$ f(x) = \begin{cases} 0:& x < \sqrt2,\\ 1:& x > \sqrt2, \end{casos} $$ es continua (comprobarlo) y no puede ser extendida de forma continua a $\Bbb R$.