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Question

Esta fue la pregunta de una prueba. Mi pregunta es si mi intento de solución es correcta, y si lo es, ¿por qué es correcta.

$$\lim_{(x,y) \to (0,0), x+y \neq 0}{\frac{\ln(1-x-y)}{x+y} } $$

Mi intento:

Deje $\xi = -x-y $. A continuación, $\xi \to 0$ siempre $(x,y) \to (0,0)$ e $x+y \neq 0 \iff \xi \neq 0$. (Entonces es correcto decir que el anterior límite existe y es igual a la siguiente iff la siguiente existe? Y ¿por qué?):

$$\lim_{\xi \to 0, \xi \neq 0}{\frac{\ln(1+\xi )}{-\xi}}$$

Si es correcto, entonces el límite existe y es $-1$. Si es correcto, ¿por qué es correcto?

Answer 1

Queremos mostrar que $\forall \epsilon \gt 0 : \exists \delta \gt 0 : ||(x,y)||< \delta \implies |\frac{\ln(1-x-y)}{x+y}+1| \lt \epsilon$.

Fix $\epsilon \gt 0$. Sabemos que $\lim_{\phi \to 0} \frac{ln(1+\phi)}{-\phi} = -1$. Así que no hay $\delta_1 \gt 0$ tal que $|\phi| \lt\delta_1 \implies |\frac{ln(1+\phi)}{-\phi}+1| \lt \epsilon$. Deje $\delta = \delta_1$ e $\xi = -x-y$. Supongamos $||(x,y)|| \lt \delta $. Desde todas las normas de $R^n$ son equivalentes, podemos usar la norma de la suma. Entonces:

$||(x,y)|| = |x|+|y| \geq |x+y| = |\xi|$. Desde $|\xi| < \delta_1 $, a continuación, $|\frac{ln(1+\xi)}{-\xi}+1| < \epsilon$ por lo tanto $|\frac{ln(1-x-y)}{x+y}+1| < \epsilon $. $\square$