En cada intervalo de $[2k,2k+1)$, debido a $\sin(\pi x)$ es no negativo, la integral es igual a
$$f(x) = \lfloor x\rfloor\int |\sin(\pi x)| dx = \lfloor x\rfloor\int \sin(\pi x) dx$$
La solución de esta integral, se obtiene
$$f(x) = f_1(x) = -\frac{\lfloor x\rfloor}{\pi}\cos(\pi x) + A(\lfloor x\rfloor)$$
En los intervalos de $[2k-1, 2k)$, tendrá el mismo resultado, sólo que con un signo diferente,
$$f(x) = f_2(x) = \frac{\lfloor x\rfloor}{\pi}\cos(\pi x) + B(\lfloor x\rfloor)$$
Observe que el anterior "constantes" de la integración de las funciones de $\lfloor x\rfloor$. Esto es debido a que se han integrado de forma separada en cada intervalo, y por lo tanto las constantes para cada intervalo de tiempo son diferentes. Para determinar estas constantes, vamos a utilizar el hecho de que $f(x)$ es derivable y por lo tanto continua.
Por la continuidad en los puntos de $x=2k$, tenemos
\begin{eqnarray*}
&f_1(2k)=\lim\limits_{x\to2k^-} f_2(x)& \\
&\frac{2k}{\pi}\cos(2k\pi) + A(2k) = \frac{2k-1}{\pi}\cos(2k\pi) + B(2k-1)& \\
&\boxed{B(2k-1) = A(2k) + \frac{1-4k}{\pi}} \tag{1}&
\end{eqnarray*}
Por la continuidad en los puntos de $x=2k+1$, tenemos
\begin{eqnarray*}
&\lim\limits_{x\to(2k+1)^-} f_1(x) = f_2(2k+1)& \\
&-\frac{2k}{\pi}\cos(2k+1)\pi + A(2k) = \frac{2k+1}{\pi}\cos(2k+1)\pi + B(2k+1)& \\
&\boxed{A(2k) = -\frac{4k+1}{\pi} + B(2k+1)} \tag{2}&
\end{eqnarray*}
Siguiente, ya que el integrando es idéntica a cero en $[0,1)$, $f(x)=C$ es constante en este intervalo. Debido a $[0,1)$ es de la forma $[2k,2k+1)$ para $k=0$, esto nos da la $A(0) = C$. En consecuencia, $(2)$ rendimientos $B(1) = \frac{1}{\pi}+C$.
La combinación de $(1)$ e $(2)$ tenemos
\begin{eqnarray*}
&B(2k+1) = \frac{8k}{\pi} + B(2k-1) = \frac{8k}{\pi} + \frac{8(k-1)}{\pi} + B(2k-3) = \cdots =& \\
&= \frac{8}{\pi} (k+k-1+...+1) + B(1) = \frac{8}{\pi}\frac{k(k+1)}{2} + \frac{1}{\pi}+C =& \\
&= \frac{1}{\pi}(4k^2+4k+1)+C = \frac{1}{\pi}(2k+1)^2+C&
\end{eqnarray*}
Ahora, la aplicación de $(2)$ obtenemos $A(2k) = \dfrac{4k^2}{\pi}+C$. Una forma útil de expresar los últimos dos resultados es
$$B(\lfloor x\rfloor) = \frac{\lfloor x\rfloor^2}{\pi}+C,\ A(\lfloor x\rfloor) = \frac{\lfloor x\rfloor^2}{\pi}+C$$
en sus respectivos dominios.
Por último, al combinar las funciones de $f_1$ e $f_2$ en uno y obtener
$$\boxed{\boxed{f(x) = (-1)^{\lfloor x\rfloor+1}\cdot\frac{\lfloor x\rfloor}{\pi}\cos(\pi x) + \frac{\lfloor x\rfloor^2}{\pi}+C}}$$
Una manera más fácil
En primer lugar, observe que el integrando es una función continua en a$\mathbb R$. Esto nos permite utilizar el teorema Fundamental del cálculo, es decir,
$$f(x)=\int\lfloor x\rfloor\cdot |\sin(\pi x)| dx = \int_0^x\lfloor t\rfloor\cdot |\sin(\pi t)| dx$$
Podemos olvidarnos de la constante de integración por ahora.
Siguiente, para $x\ge 1$, podemos escribir
$$f(x) = \sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor} \int_{k-1}^k \lfloor t\rfloor\cdot |\sin(\pi t)| dt + \int_{\lfloor x\rfloor}^x\lfloor t\rfloor\cdot |\sin(\pi t)|dt$$
Utilice el hecho de que $\lfloor t \rfloor = k-1$ en el intervalo de $[k-1,k)$, y obtendrá
$$\int_{k-1}^k \lfloor t\rfloor\cdot |\sin(\pi t)| dt = (k-1)\int_{k-1}^k |\sin(\pi t)| dt$$
Debido a $|\sin(\pi t)|$ es $1-$periódico, la integración intervalo de $[k-1, k]$ puede ser reducido al intervalo de $[0, 1]$, lo que hace que sea fácil de calcular (el resultado es $2/\pi$).
Otra cosa que usted tendrá que utilizar es el hecho de que
$$\int_{\lfloor x\rfloor}^x\lfloor t\rfloor\cdot |\sin(\pi t)|dt = \lfloor x\rfloor \int_{\lfloor x\rfloor}^x |\sin(\pi t)|dt = \lfloor x\rfloor \int_0^{x-\lfloor x\rfloor} \sin(\pi t)dt$$
Para $x<1$, se puede demostrar que el resultado es el mismo. También, usted puede agregar una constante de integración, si quieres.
