¿Cómo minimizar$\| c \mathbf{x} - \mathbf{y}\|_1$ sin usar programación lineal?

Question

Hay una forma cerrada de la solución para el problema de minimización $$\min_{c \in \mathbb{R}}\left\lVert c \mathbf{x} - \mathbf{y}\right\rVert_1$$ donde $\mathbf{x} = \begin{bmatrix}0 & 1 & \dots & n \end{bmatrix}^T$ e $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n+1}$ fijo es un vector, y la norma es el $1$-norma?

Sé que esto puede ser expresado como la programación lineal \begin{alignat*}{2} & \text{minimize } & & \boldsymbol{1}^T\mathbf{t} \\ & \text{subject to } & &\begin{aligned}[t] -\mathbf{t} \leq c\mathbf{x} - \mathbf{y} \leq \mathbf{t} \\ \end{aligned} \end{alignat*} pero me pregunto si hay otras maneras de solucionar esto? O ¿existen algunas aproximaciones que no requieren la solución de un problema de programación lineal? Gracias.

Answer 1

\begin{align}\|cx-y\|_1&= |y_0|+\sum_{i=1}^n|ci-y_i|\\ &=|y_0|+ \sum_{i=1}^n i|c-\frac{y_i}i|\end{align}

Tenga en cuenta que $|y_0|$ no tiene una influencia en la elección de $c$.

Deje $v$ ser ordenado de vectores que consisten $i$ copias de $\frac{y_i}{i}$ (posiblemente con duplicity), donde $1 \le i \le n$. A continuación, $c$ puede ser elegido para ser la mediana del vector $v$.