¿Pueden las moléculas difundirse río arriba al vaciar una taza de té?

Question

Estaba bebiendo un té, y decidí al azar verter un poco en el inodoro en un chorro ininterrumpido; ¿pueden las partículas viajar "río arriba" con la suficiente rapidez como para llegar a la taza de té? ¿A qué velocidad puede producirse la difusión en este sistema?

¿Qué pasa si lo vierto en residuos tóxicos altamente concentrados? Teniendo en cuenta que incluso cantidades mínimas podrían hacerlo tóxico, ¿no debería beber mi té?

Answer 1

Las partículas/solutos siempre se difunden en todas las direcciones. La pregunta que hay que hacerse es: "¿se difunden lo suficientemente rápido como para superar ser arrastradas por el flujo?".

Respuesta corta: No. Pero no lo intentes.

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Respuesta larga:

Una ecuación rectora que puede utilizarse para responder a esta pregunta es la siguiente:

$$ \overline v\!\left(\vec r\right)\cdot \overline\nabla C_i\!\left(\vec r\right) = D_i\nabla^2C_i\!\left(\vec r\right)\tag{1} $$

Este es el estado estacionario (simplificado) balance de transporte de masas para las especies $i$ en un punto determinado $\vec r$ en el espacio. El lado izquierdo representa el transporte debido a convección el lado derecho encapsula el transporte debido a difusión . $\overline v\!\left(\vec r\right)$ es la velocidad de circulación del fluido, $C_i\!\left(\vec r\right)$ es la concentración, y $D_i$ es el difusividad . Para mayor concisión, la dependencia explícita de $\vec r$ se omitirá a continuación.

Dado que lo que más nos interesa es el transporte en la dirección del flujo del té, si aproximamos la corriente como un cilindro de líquido que fluye uniformemente con velocidad $v_z$ y asumiendo que las variaciones de concentración perpendiculares al flujo no son importantes, la Ec. $\left(1\right)$ se convierte:

$$ v_z{dC_i\over dz} = D_i{d^2C_i\over dz^2} \tag{2} $$

si elegimos el $z$ -eje como si estuviera a lo largo de la corriente de té.

La forma más útil de utilizar la Ec. $\left(2\right)$ es no dimensionar lo. Es decir, reescribirlo de forma que todas las variables y coeficientes no tengan unidades. Para este problema, $z$ y $C_i$ son las variables que hay que adimensionalizar, mientras que $v_z$ y $D_i$ son parámetros que deben agruparse en grupos adimensionales. Entonces, definamos:

$$ \eta = {z\over L}; \Theta = {C_i\over C_i^*} \tag{3} $$

$L$ es alguna escala de longitud representativa del sistema de interés. En este caso, la mejor elección es probablemente la altura a la que sostienes el vaso sobre la superficie del residuo tóxico. $C_i^*$ es una concentración representativa de una especie química de interés, como el actor más desagradable de ese residuo tóxico concentrado. Para sustituir estas definiciones en la Ec. $\left(2\right)$ Los reescribiré como $z=\eta L$ y $C_i = \Theta C_i^*$ :

$$ {v_zC_i^*\over L}{d\Theta\over d\eta} = {D_iC_i^*\over L^2}{d^2\Theta\over d\eta^2} \tag{4} $$

Los términos con derivadas en la Ec. $\left(4\right)$ son ahora adimensionales. Para hacer que los coeficientes no sean adimensionales, divide ambos lados por $D_iC_i^*/L^2$ :

$$ {v_zL\over D_i}{d\Theta\over d\eta} = {d^2\Theta\over d\eta^2} \tag{5} $$

La nueva agrupación de parámetros en la Ec. $\left(5\right)$ tiene un nombre especial: el Número de Péclet , abreviado $\mathrm{Pe}$ .

$$ \mathrm{Pe}{d\Theta\over d\eta} = {d^2\Theta\over d\eta^2} \tag{6} $$

La magnitud de $\mathrm{Pe}$ indica la importancia relativa de la convección respecto a la difusión en un problema como éste. Si el número de Péclet es grande $\left(\mathrm{Pe}\gg 1\right)$ significa que la convección domina el comportamiento de la transferencia de masa; si es pequeño $\left(\mathrm{Pe}\ll 1\right)$ entonces la difusión es el fenómeno clave. Si está cerca de la unidad $\left(\mathrm{Pe} \sim 1\right.$ o aproximadamente $\left.0.3\leq \mathrm{Pe}\leq 3\right)$ entonces hay que considerar conjuntamente la difusión y la convección.

Entonces, ¿verter el té en residuos tóxicos puede envenenar el té?

Bueno, dejando de lado la cuestionable sabiduría de llevar una bebida a una zona de residuos tóxicos en primer lugar, ¿cuáles son algunos números representativos de $D_i$ , $v_z$ y $L$ ? El límite superior de la difusividad de un soluto en el agua es de aproximadamente $2\times 10^{-6}\,\mathrm{cm^2\over s}$ (véase, por ejemplo, aquí ). Como queremos saber si la difusión puede superar a la convección, debemos darle la mejor oportunidad posible y seleccionar este valor máximo lo hará. (Es decir, maximizar $D_i$ que está en el denominador de la definición de $\mathrm{Pe}$ tenderá a minimizar $\mathrm{Pe}$ .)

Del mismo modo, la selección de los valores mínimos prácticos de $L$ y $v_z$ también tenderá a minimizar $\mathrm{Pe}$ , lo que nos da una idea del peor de los casos para saber si te enfrentas o no a una muerte espantosa por envenenamiento de residuos tóxicos. Digamos, con optimismo, que una pulgada es la altura mínima desde la que se puede verter el té sin que salpique la taza. Si aproximamos (de forma bastante imprecisa) la velocidad de la corriente de té en la superficie de los residuos tóxicos como la de un partícula que cae libremente la velocidad será $v_z=\sqrt{2gL}$ .

Así, nuestro número de Péclet estimado es ( Resultado de la calculadora de Google+%2F+(0.000002+cm%5E2%2Fs)) ):

$$ \mathrm{Pe} = {v_zL\over D_i} = {\sqrt{2gL^3}\over D_i} = 8.96\times 10^7 $$

Este es un enorme Número de Péclet. No hay forma de que ninguno de esos residuos tóxicos se difunda en tu té. (Sin embargo, no pruebes esto. Las salpicaduras, la respiración de los gases tóxicos, las caídas, etc. son posibilidades muy reales).

Como nota adicional, observe que al combinar los términos para formar la Ec. $\left(5\right)$ la concentración de referencia $C_i^*$ anulado por completo. Así que, en este caso, la respuesta es la misma independientemente de la concentración de esos residuos tóxicos.

Answer 2

¿fueron esos locos científicos cubanos fanáticos del té otra vez?

Las partículas pueden supuestamente viajar "a contracorriente" si se tratara de verterlo en el retrete lo más cerca posible de la mano sin que un equipo de materiales peligrosos derribe tu puerta. Pero me preocuparían más las partículas furtivas que en cambio se difunden por el aire mismo, y no por el chorro que estás considerando...

Además, hay que tener en cuenta que cuanto más concentrada esté la solución Y y más pura sea la solución X, más probable será que el soluto de la solución Y acabe en la solución X. Las concentraciones más altas desembocan en concentraciones más bajas. Y cuanto más cerca estén las dos soluciones durante la decantación, más fácil será que se forme esta contracorriente. Pero se supone que a más de 1 centímetro de altura no debería formarse una contracorriente, según ese artículo.