¿Cuál es la dimensión más grande del conjunto de matrices con$\text{trace} AB = 0$?

Question

Supongamos $W$ es un subespacio de $M_n(\mathbb{R})$ con la propiedad de que $\text{trace}(AB) = 0$ para todos los $A,B \in W$. Quiero encontrar la mayor dimensión de la $W$.

Parece que la respuesta es $n(n - 1)/2$, me puede encontrar conjunto de matrices es decir, el conjunto de todas las matrices triangulares, ya sea superior o inferior bot no tanto, con cero diagonal. Ellos son de la forma $$\begin{bmatrix} 0 & * & * & * & \dots & * \\ 0 & 0 & * & * & \dots & *\\ 0 & 0 & 0 & * & \dots & *&\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & *\\ 0 & 0 & 0 & 0 &\dots & 0\end{bmatrix}$$ (o el inferior).

Tengo un problema mostrando esta es la dimensión más grande se puede conseguir. Claramente uno de la base de este subespacio es el conjunto de las matrices con entrada de 1 en uno de los $*$ y cero de lo contrario, no se $n(n - 1)/2$ tales matrices.

Puedo demostrar que cuando se añade uno más de la matriz a de esta base, la propiedad $\text{trace}(AB)$ ya no se puede mantener. Es esta la forma correcta para demostrarlo? Porque creo que hay un error con este ya voy a empezar con la uppertriangular, a continuación, añadir uno más(no general).

Answer 1

La declaración es correcta, pero el método---demostrando que su candidato subespacio no es un buen subespacio de cualquier grande del subespacio que satisface el criterio---tal vez requiere cierta justificación adicional:

Sugerencia Muestran que $B : (X, Y) \mapsto \operatorname{tr}(X Y)$ es una degenerada, bilineal simétrica forml en este idioma, el problema pide la dimensión más grande de cualquier totalmente isotrópica subespacio $W \leq M(n, \Bbb R)$. A continuación, aplique Witt del Teorema.

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He aquí un método alternativo para mostrar la afirmación de que no requiere la construcción de una explícita candidato, en el costo de la utilización de algunos (conocida) los datos acerca de semisimple álgebras de Lie.

En primer lugar, podemos reconocer que las $B : (X, Y) \mapsto \operatorname{tr}(X Y)$ coincide con un múltiplo de la Matanza forma en la codimension-$1$ subespacio $\mathfrak{sl}(n, \Bbb R) := \ker \operatorname{tr}$. Pero la Mentira álgebra $\mathfrak{sl}(n, \Bbb R)$ (definido por tomar la costumbre conmutador de matrices) es la división real de la forma de Lie semisimple álgebra, por lo que la firma de Matar a su forma, es igual al rango de la álgebra, es decir, $n - 1$, es decir, la limitación de $B$ a $\mathfrak{sl}(n, \Bbb R)$ tiene firma $\left(\frac{1}{2} n (n + 1) - 1, \frac{1}{2} n (n - 1)\right)$.

Por otro lado, $M(n, \Bbb R)$ se descompone como suma directa ortogonal de un lapso $\operatorname{span}\{1_n\}$ de la matriz de identidad y $\mathfrak{sl}(n, \Bbb R)$, e $B$ es positivo-definida en $\operatorname{span}\{1_n\}$, lo $B$ tiene firma $\left(\frac{1}{2} n (n + 1), \frac{1}{2} n (n - 1)\right)$. Por lo tanto, la mayor dimensión de un máximo totalmente isotrópica subespacio $W \leq M(n, \Bbb R)$ es $\frac{1}{2} n (n - 1)$.

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Otro método es encontrar una pseudo-base ortogonal para $B$ y el uso que para calcular su firma, a pesar de que podría decirse que este no es más fácil que encontrar un candidato máxima subespacio en el primer lugar.

Uno de esos base es $\{E_{ii}\} \cup \{E_{ij} + E_{ij}\}_{i \neq j} \cup \{E_{ij} - E_{ji}\}_{i \neq j}$.