Demuestre que si dos triángulos construidos en líneas paralelas, con bases iguales, tienen el mismo perímetro solo si son congruentes.

Question

Mostrar que si dos triángulos construidos en líneas paralelas, como se muestra arriba, con |AB|=|a'B'| tienen el mismo perímetro, sólo si son congruentes.

He tratado de demostrar por contradicción:

Supongamos que no son congruentes, pero tienen el mismo perímetro, luego |AC|$\neq$|C| o |BC|$\neq$ |b'C'|. Digamos que |CA|$\neq$|UNA'C'|, y supongamos que |CA| $\lt$ |UNA'C'|.

Si a |BC|=|b'C'| entonces los triángulos sería congruente que es falsa de mi suposición.

Si a |BC| $\gt$ |b'C'| entonces |UN'C'| + |b'C'| $\gt$ |CA| + |BC| lo cual es falso porque sus perímetros debe ser igual.

En el último caso, |BC|$\gt$|b'C'| me quedé atrapado. No puedo encontrar una manera para demostrar que es falso.

¿Cómo puedo mostrar que el último caso es falsa?

Answer 1

Fix $A'$ e $B'$. Como $AB = A'B'$ es fijo, los puntos de $C'$ para que $ABC$ tiene el mismo perímetro que $A'B'C'$ son los puntos que $AC + BC = A'C' + B'C'$. Se reconoce aquí la definición de una elipse de foco $A'$ e $B'$. Por tanto, el locus de $C'$ es una elipse. Finalmente, $C'$ es en el ínterin en una elipse y en una línea. Estos dos tienen dos intersecciones que dar la directa e indirectamente congruents triángulos.

La manera más fácil de descubrir su último caso es el uso de la elipse argumento.

Answer 2

Imagina que $AB$ se fija en la parte inferior de la línea y $C$ varía de manera fuera de la izquierda a la derecha. El perímetro de un triángulo es una función decreciente hasta triángulo $ABC$ es isósceles, entonces se incrementa. Está claro a partir de la simetría que se necesita en cada valor mayor que su valor mínimo en dos de los puntos simétricos con respecto a la bisectriz perpendicular de $AB$.

Answer 3

Como una alternativa de la prueba, debido a que los triángulos se construyen en líneas paralelas, tienen la misma área. Utilizando la Fórmula de Heron $$A = \frac{1}{4}\sqrt{(AB + AC + BC) (AB + AC + BC)(AB - AC + BC)(AB + AC - BC)}$$ y un poco de álgebra, se puede mostrar que cualquiera de las $AC = A'C'$ e $BC = B'C'$ o $AC = B'C'$ e $BC = A'C'$. En ambos casos $ABC \cong A'B'C'$.

Answer 4

Digamos que la distancia entre las dos líneas es $1$. Poner un $x$ eje en la línea inferior, y un $y$ eje a través del primer punto en el triángulo. Esto asegura que la parte inferior izquierda del punto del triángulo ha de coordinar $(0,0)$. Coloque el $(1,0)$ coordenadas en la esquina inferior derecha del triángulo.

Si el tercer punto del triángulo es de $(x,1)$, entonces el diámetro es $$f(x) = \sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 + (1-x)^2} + 1$$ .

Observar que $f(x)$ tiene una línea de simetría en $x=0.5$. En otras palabras, si usted no a la sustitución de $u = 1-x$ obtiene la misma función.

El próximo observar por trama o por la diferenciación que la función es monótona decreciente cuando se $x < 0.5$ y aumentar al $x > 0.5$.

Por el párrafo anterior, si existe el triángulo con un diámetro determinado, en la mayoría de sólo uno de otro triángulo puede existir con ese diámetro. Por otra parte, el párrafo anterior para el que dice que este otro triángulo puede ser reflejada en la línea de $x=0.5$ para el rendimiento de la primera.

Q. E. D.

Answer 5

Esta es la respuesta más simple; no utilizar cualquier cálculo o cónicas.

Deje $A^*$ ser el simétrico de a$A$ con respecto a la línea que pasa a través de $C$. $BC+AC=BC+CA^*$ que es el mínimo de la fib $CA=CB$. Si $C'$ es otro punto sobre el segmento de entre $C$ y la línea de $BA^*$, podemos mostrar (el uso de esta respuesta) que $BC+AC>BC'+AC'$. $~~~\square$