Deje que$G$ sea un grupo y$A \subseteq G$. Supongamos que$\{aA\mid a \in G\}$ forma una partición de$G$. Para algunos$a_0\in G$,$H=a_0A$ es un subgrupo de$G$.

Question

Este es un problema que mi profesor de Álgebra de trabajo que se sugiere a través de la práctica.

Deje $G$ ser un grupo y vamos a $A \subseteq G$. Suponga que $K = \{aA\mid a \in G\} $ forma una partición de G. Demostrar que no existe $a_0\in G$ tales que H = $a_0$a es un subgrupo de G y $\{aA\mid a \in G\} = \{bH\mid b \in G\}$.

Sé que si $K$ es una partición de a$G$, entonces cualquiera de las $aA = bA$ o $aA \cap bA = \emptyset $ para todos los $a,b \in G$ y que no debe existir $a_0\in A$ tal que para $x \in G$, $a_0a = x$ que es equivalente a $a_0 = xa^{-1}$, desde el $G$ es un grupo. Este formato es similar a $H = a_0A$. Yo estoy luchando con la formación de este subgrupo $H$ y la muestra es un subgrupo. En cuanto a la segunda parte, creo que me podría mostrar que cada conjunto es un subconjunto de la otra.

Soy nuevo en Álgebra Abstracta y la lucha con los conceptos. Estoy buscando muy sencillo, sencillo sugerencias. Gracias!

Answer 1

Sugerencia: cualquier partición $P$ de $G$ define una relación de equivalencia $\sim_P$ (y viceversa ). Considere $$[e]_{\sim_K}=\{g\in G\mid g\sim_K e\},$$ where $ e$ is the identity of $ G $ .

Nota: $e$ no está necesariamente en $A$ .

Answer 2

Aquí está el truco que quieras utilizar:

Deje $g\in G$ ser arbitraria. A continuación, $g\in H$ si y sólo si $gH = H$ si y sólo si $gH \cap H \ne \emptyset$.

Usted debe probar este! Utilice el hecho de que la traduce de $H$ forma una partición de $G$.

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Ahora, el primer paso en la demostración de $H$ es un subgrupo de la muestra que para cualquier $h\in H$, su inverso $h^{-1}$ es también en $H$. Explicar por qué la $e\in h^{-1}H$, y por qué esto demuestra que $h^{-1}\in H$.

El segundo paso en la demostración de $H$ es un subgrupo de la muestra que para cualquier $g,h\in H$, su producto $gh$ es también en $H$. Mediante el paso anterior, demostrar que $g\in (gh)H$ y explicar por qué esto significa que $gh\in H$.