¿Por qué las colisiones electrón-positrón no liberan energía infinita?

Question

Preguntas del tipo:

Un electrón y un positrón colisionan con E MeV de energía, ¿cuál es la frecuencia de los fotones liberados?

surgen con bastante frecuencia en mi curso de A Level (para una E a menudo bastante arbitraria). Pero esto me hizo pensar. Hay energía almacenada en la separación de un electrón y un positrón que, al acercarse más y más, debería convertirse en energía cinética. Como el potencial es de la forma $\frac{1}{r}$ Esto implica que a distancias arbitrariamente pequeñas se emite una cantidad de energía arbitrariamente alta. Dado que tanto los electrones como los positrones se consideran típicamente como partículas puntuales, para que colisionen tendrían que estar arbitrariamente cerca, lo que implicaría que en el curso de su colisión deberían haber liberado cantidades arbitrariamente altas de energía, en forma de energía cinética. Como esto implicaría la emisión de fotones de una frecuencia arbitrariamente alta, asumo que debo haber omitido alguna parte de la física en algún lugar, pero no sé dónde. Las ideas que he tenido hasta ahora incluyen:

• La energía debería ser emitida, de todas formas, por un electrón que acelera, en forma de luz, según la EM clásica, aunque no sé cómo cambia esto de las ideas clásicas a las cuánticas de la EM - ciertamente no podemos tener toda la energía emitida en un flujo continuo, porque necesitamos fotones cuantificados, así que el propio electrón experimenta niveles de energía cuantificados cuando acelera hacia el interior (mi único problema con el tratamiento del electrón de una manera tan cuantificada es que, en mi opinión, sería equivalente a tratarlo matemáticamente como un átomo similar al hidrógeno, donde la probabilidad de que el electrón colisione con el positrón sigue siendo extremadamente baja, y a diferencia de la captura de electrones, no habría ninguna interacción de fuerza débil para mediar en este "átomo de electrón-positrón").
• El mecanismo real de la desintegración ocurre a una distancia de separación no nula, tal vez los fotones pasan entre las dos partículas para mediar la desintegración a distancias no infinitesimales.
• A velocidades relativistas nuestro modelo clásico de electrodinámica se rompe. Ahora bien, sé que esto es cierto, teniendo en cuenta que el magnetismo es básicamente el componente relativista de la electrodinámica. Sin embargo, dado que el magnetismo es la única fuerza relativista que intervendría, no veo cómo podría actuar para contrarrestar esta liberación infinita de energía, así que ¿hay otra fuerza que estoy olvidando?

Estas son sólo ideas que se me han ocurrido mientras pensaba en el problema, y no sé si alguna de ellas tiene alguna importancia física en este problema, así que se agradece cualquier consejo.

Answer 1

Esta es una gran pregunta. Se puede responder a muchos niveles diferentes.

Tienes toda la razón en que si nos ceñimos al nivel de la física clásica del instituto, algo no tiene sentido aquí. Sin embargo, podemos obtener una imagen aproximadamente correcta "pegando" una descripción clásica y otra cuántica. Para ello, pensemos en qué momento se rompe la imagen clásica.

En la teoría cuántica de campos relativista, la imagen clásica de las partículas puntuales se rompe cuando bajamos de la longitud de onda de Compton $$\lambda = \frac{\hbar}{mc}.$$ No es imposible para localizar partículas más pequeñas que esta longitud, pero genéricamente tendrá una probabilidad significativa de empezar a crear nuevas partículas en su lugar. Ahora bien, la energía potencial eléctrica liberada al llegar a esta separación es $$E = \frac{e^2}{r} = \frac{e^2 m c}{\hbar}$$ en unidades cgs. Aquí ha aparecido una de las constantes más importantes de la física, la constante de estructura fina que caracteriza la fuerza del electromagnetismo, $$\alpha = \frac{e^2}{\hbar c} \approx \frac{1}{137}.$$ La energía liberada hasta ese momento es $$E \approx \alpha m c^2$$ que no es infinita, sino más bien una pequeña fracción de la energía total.

Pasado este radio debemos utilizar la mecánica cuántica, que hace que el $1/r$ potencial totalmente inaplicable -- no sólo los electrones no tienen posiciones definidas, sino que el campo electromagnético ni siquiera tiene un valor definido, y el número de partículas tampoco está definido. En realidad, pensar en el estado cuántico completo del sistema en este punto es tan peliagudo que ni siquiera los libros de texto de posgrado lo hacen; suelen poner el proceso en caja negra y sólo piensan en los resultados finales, tal y como hace tu curso de secundaria. Utilizando la teoría completa de la electrodinámica cuántica, se puede demostrar que el resultado final más probable es que salgan dos fotones energéticos. En el instituto sólo se asume que esto ocurre y se utilizan las leyes de conservación para describir los fotones mucho después de que el proceso haya terminado.

Para separaciones mucho mayores que $\lambda$ En este caso, la imagen clásica debería ser aplicable, y podemos pensar que parte de la energía se libera como radiación electromagnética clásica, lo que ocurre generalmente cuando las cargas se aceleran. (A nivel cuántico, el número de fotones liberados es infinito , indicando la llamada divergencia infrarroja, pero son individualmente muy bajas en energía, y su energía total es perfectamente finita). Como esperabas, esta energía se pierde antes de que se inicie el proceso cuántico de caja negra, por lo que las respuestas de tus libros de texto están realmente equivocadas en alrededor de $1/137$ . Pero es un número lo suficientemente pequeño como para que no nos preocupe mucho.

Answer 2

Positronio es lo que describes en tu primera idea.

Hasta que se desarrolle un modelo creíble del electrón, lo mejor que podemos hacer es decir que la masa en reposo del sistema electrón-positrón es la única energía disponible para ser convertida en radiación en un evento de aniquilación.

Este experimento revelará mucho más sobre lo que ocurre en encuentros muy cercanos entre electrones y positrones.

Answer 3

Debo señalar que, incluso a nivel clásico, mientras la energía cinética sube hasta el infinito, la energía potencial baja hasta el infinito negativo. La diferencia se mantiene constante, igual al doble de la masa del electrón (suponiendo que partan del reposo a una distancia infinita). Cuando se aniquilan, la energía cinética desaparece, pero también lo hace la energía potencial. Así que los fotones sólo se llevan 2mc^2.