Límite superior de la norma de espacio de Hilbert operador

Question

Se trata de un estándar resultado que para un almacén de auto-adjunto del operador $T$ en un complejo espacio de Hilbert $H$,$||T||=\sup_{||x||=1}|\langle Tx,x\rangle|:=M$. Parece que para cualquier operador acotado en $H$,$||T||\leq 2M$. ¿Por qué es eso así?

Answer 1

Sugerencia. Nos pueden escribir $$ T = a + iB $$ donde $A$ $B$ son auto-adjuntos a los operadores definidos por $$ A := \frac 1 2 (T + T^+)\\ B := -\frac i 2 (T - T^+) $$

Answer 2

Usted puede utilizar el sesquilinear formas.Especialmente una forma cuadrada.

Así que vamos a decir que $f:H \times H-> \Bbb C$ es una plaza que $f(x,x)=<Tx,x>$, entonces usted puede de manera que $\lVert f \rVert \leq \lVert T \rVert \leq 2\lVert f \rVert$.

Por sesquilinear mapa nos referimos a un mapa $φ$:$H\times H->\Bbb C$ con las propiedades: 1)El mapa es lineal en la primera variable,el mapa de $x->φ(x,y):H->\Bbb C$ es lineal. 2)El mapa es antilinear a la segunda variable,el mapa de $x->\overline φ(x,y):H->\Bbb C$ es lineal.

También $\|f\|=sup${$<Tx,y>:\|x\|,\|y\|\leq 1$}