Demostrar que la función $$f(x)=\cos(x)+\cos(x\sqrt{2})$$ is not periodic. I tried $x = $ and $\sqrt{2}$. Supongo que el método de contradicción sería de un poco de ayuda por aquí. ¿Qué más debo hacer?
Respuestas
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Suponga $ \cos(x) + \cos(\sqrt{2} x) = \cos(x+T) + \cos(\sqrt{2} x+ \sqrt{2} T) $.
Deje $x=0$. Entonces
$$2=\cos T + \cos \sqrt{2}T$$
Desde el coseno es en la mayoría de uno, esto quiere decir que, simultáneamente, se $\cos T = 1$$\cos \sqrt{2} T = 1$. Esto es equivalente a:
$$T = 2\pi n, \ \mbox{for some } n \in \mathbb{Z}$$ $$\sqrt{2}T = 2\pi m, \ \mbox{for some } m \in \mathbb{Z}$$
Sustituto $T$ desde la primera a la segunda:
$$\sqrt{2} (2\pi n)= 2\pi m$$ $$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$$
Por lo $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$ lo cual es una contradicción, o $T=0$. De cualquier manera, está hecho.
chiborg
Puntos
364
Sólo hay un valor de $x$ que $f(x)=2$. Prueba: Desde $\cos\phi\le1$ esto sólo es posible, si $\cos x = 1$ $\cos(x\sqrt2) = 1$ verdad al mismo tiempo. La primera instrucción es equivalente a $\frac{x}{\pi}\in\mathbb Z$, el segundo es equivalente a $\frac{x}{\pi}\sqrt2\in\mathbb Z$. El valor de $x=0$ cumple con los requisitos. Si un no-cero $x$ cumpliría tanto $\frac{x}{\pi}\in\mathbb Z$$\frac{x}{\pi}\sqrt2\in\mathbb Z$, que podría repartir el segundo entero por la primera. El resultado sería un número racional con valor de $\sqrt2$. Esta es una contradicción. Por lo tanto, sólo $x=0$ cumple con ambos requisitos.
