Nth Derivado de$y=f(x)$

Question

Consideremos una función continua $y=f(x)$,

El primer derivado de la orden de la función $f(x)$ se define por

$$\frac{d}{dx}f(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x) - f(x - h)}{h}$$

El segundo derivado de la orden es

$$ \frac{d^{2}}{dx^{2}}f(x) = \lim\limits{h \to 0} \frac{f(x) - 2f(x - h) +f(x-2h)}{h^{2}}$ $ y $$ \frac{d^{3}}{dx^{3}}f(x) = \lim\limits{h \to 0} \frac{f(x) - 3f(x - h) +3f(x-2h) - f(x-3h)}{h^{3}},$ $

y así hijo...

Ahora usando el mismo razonamiento, por inducción, ¿cómo se demuestra que la expresión de abajo puede usarse para calcular nth derivado de $f(x)$?

$$ \frac{d^{n}}{dx^{n}}f(x) = \lim\limits{h \to 0} \frac {1}{h^{n}} \sum{k=0}^{n} (-1)^{k} \binom{n}{k}f(x-kh)$$

Answer 1

Supongamos que su fórmula es correcta para la n-ésima derivada. Entonces tenemos \begin{align} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}f(x)=&\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{d^{n}f(x)}{dx^{n}}-\frac{d^{n}f(x-h)}{dx^{n}}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\frac{f(x-kh)-f(x-(k+1)h)}{h^{n+1}}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\sum_{k=0}^{n+1}(-1)^k\left(\binom{n}{k}+\binom {n}{k-1}\right)\frac{f(x-kh)}{h^{n+1}}=\lim_{h\rightarrow 0}\sum_{k=0}^{n+1}(-1)^k\binom{n+1}{k}\frac{f(x-kh)}{h^{n+1}}. \end{align} La última línea de la siguiente manera a partir de una relación de recursividad en los coeficientes binomiales (https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient#Recursive_formula).

Answer 2

SUGERENCIAS: en Primer lugar, $$\frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} f(x) = \lim_{h \rightarrow0}\frac{\frac{d^{n}}{dx^{n}} f(x)-\frac{d^{n}}{dx^{n}} f(x-h)}{h}.$$ Segundo, $$\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}f(x-kh) = (-1)^0 \binom{n+1}{0} f(x) + \sum_{k=1}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}f(x-kh).$$ Tercero, $$\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}.$$ Cuarto $$\binom{n}{n}=\binom{n+1}{n+1}.$$

El cambio de la variable de suma y con la anterior de las relaciones con facilidad, deben demostrar la afirmación.