subgrupo de un grupo cociente

Question

Si $K\subset G$ es un subgrupo normal de un grupo de $G$, y si $H\supset K$ es un subgrupo de $G$, entonces tenemos que $H/K$ es un subgrupo de $G/K$. Pero no veo cómo los elementos de la $H/K$ puede ser parte de $G/K$ . Para los que hemos $$ H/K \ni \bar h =\{a\H\mediados de los a^{-1}h\in K\} $$ y $$ G/K \ni \bar (g) =\{a\G\mediados de los a^{-1}g\in K \}. $$ Así que me parece que no podemos tener $H/K\subset G/K$, debido a que los elementos de $G/K$ realmente contienen elementos de $H/K$, y no son iguales a; $H/K\ni \bar a_{H/K}\subset \bar a_{G/K}\in G/K$.

Pero dado que $H/K$ es considerado como un subgrupo, a mí me parece que habría una igualdad. Es este el caso? O me estoy confundiendo algunas definiciones aquí.

Nota: no quiero usar cosets aquí; sólo la definición de un elemento de $G/K$ o $H/K$ utilizando la equivalencia de la relación de $a\equiv b$ fib $a^{-1}b\in K$.

Answer 1

Deje $h\in H$. A continuación, compruebe que hemos $$\bar h\ =\ \{a\in H\mid a^{-1}h\in K\} \ =\ h^{-1}K$$ que es exactamente el mismo conjunto como $\bar h$ en $G/H$, es decir, $\{a\in G\mid a^{-1}h\in K\}$.
Para obtener más convencido de que, si $K$ es finito, ambos conjuntos anteriores tienen exactamente $|K|$ elementos, como $a\mapsto a^{-1}h$ es un bijection fija $h$.

Una prueba directa: con $h\in H$, suponga $a\in G$ satisface $a^{-1}h\in K$.
Entonces, como $K\subseteq H$ es asumido, tenemos $a^{-1}h\in H$, lo que en realidad lo $a\in H$ deben tener.