Ecuación de diophantine considerando números primos

Question

Quiero encontrar las soluciones principales para la ecuación$2^p=q^q+q+2$.

Hasta ahora se me ocurrieron soluciones$(p,q)=(3,2),(5,3)$. No creo que haya otras soluciones, pero estoy luchando para demostrar este hecho.

Answer 1

Di$q\geq 3$. Entonces$p$ es impar y tenemos:$$ 2\underbrace{(2^{p-1}-1)}_a = q(q^{q-1}+1)$ $ Desde$3|a$ tenemos$3|q(q^{q-1}+1)$. Si$3|q^{q-1}+1=z^2+1^2$ obtenemos$3|1$. Entonces$3|q$ y por lo tanto$q=3$.

Answer 2

Tenemos:$$2^n -2 ≡ 0 mod n, n prime$ $

$$q(q^{q-1} +1)≡ 0 mod n$ $ Excepto los números primos n = 3 y n = 5 que dan q = 2 y q = 3 respectivamente, para otros números primos$$q^q +q>> 2^n -2$ $. Por lo tanto, sus soluciones son las únicas soluciones posibles.