Ayuda en la búsqueda de la forma canónica jordana de una matriz.

Question

Determinar la Forma Canónica de Jordan de la siguiente matriz: $$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 0 & 0 & 4\\ \end{bmatrix}$$

Estoy tratando de determinar el Jordán Base primera. Para ese propósito, estoy tratando de averiguar la generalización de los vectores propios de la matriz.

Correspondiente a $1$, Vamos a $U_1$ ser la generalizada espacio propio. Mis cálculos muestran que $$U_1=span\{(1,0,0)^t\}$$ and $U_2$ be the corresponding generalized eigenspace for $4$. I found out $$U_2=span\{(1,0,-9)^t,(0,1,6)^t\}$$ All I need to do now is find the Jordan basis. Since $(A-\lambda_i I)|_{U_i }$ is nilpotent, all I need to do is find the basis for each such $i$.

Estoy confundido desde aquí en lo que al tomar como el jordán. Estoy seguro de que $(1,0,0)^t$ le característica de la primera columna. No estoy seguro acerca de los otros dos.

Gracias por la ayuda!!

Answer 1

Para encontrar$E_4$ tenemos $$A-4I=\pmatrix{-3&2&3\cr 0&0&5\cr0&0&0\cr}\ ,$ $ que ya está en forma escalonada; la solución es$$ x_3=0\ ,\quad x_2=t\ ,\quad x_1=\tfrac23t\ ,, por lo que el eigenspace $$E_4=\left\{t\pmatrix{\tfrac23\cr1\cr0\cr}\ \bigg|\ t\in{\Bbb R}\right\}$ $ es unidimensional. Así que los vectores de base de Jordania formarán una cadena para$\lambda=4$, y (obviamente) una cadena para$\lambda=1$. Por lo tanto, hay un bloque Jordan para cada valor propio, y un formulario Jordan es$$ J=\pmatrix{1&0&0\cr0&4&1\cr0&0&4\cr}\ .

Answer 2

Primer lugar, calcular $$\begin{align*} A-4\,I &= \begin{bmatrix}-3&2&3\\ 0&0&5\\ 0&0&0\end{bmatrix} & (A-4\,I)^2 &= \begin{bmatrix}9&-6&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{bmatrix} & (A-4\,I)^3 &= \begin{bmatrix}-27&18&-3\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{bmatrix} \end{align*}$$ por lo $\DeclareMathOperator{rank}{rank}$ $$\begin{align*} \rank\left(A-4\,I\right) &=2 & \rank\left((A-4\,I)^2\right) &=1 & \rank\left((A-4\,I)^3\right) &=1 \end{align*}$$

Esto nos dice que el valor más pequeño de $k$, de modo que $\DeclareMathOperator{null}{null}\null\left((A-4\,I)^k\right)\DeclareMathOperator{Span}{Span}$ estabiliza es $k=2$. Este es el llamado índice de nilpotency para el autovalor $\lambda=4$.

Ahora, tenga en cuenta que $$\null\left(a-4\,I\right)=\Span\left\{ v_1= \begin{bmatrix}2\\3\\0\end{bmatrix} \right\}$$ Queremos ampliar esta base de $\null\left(A-4\,I\right)$ a una $\left\{v_1,v_2\right\}$ $\null\left((A-4\,I)^2\right)$ tal que $(A-4\,I)v_2=v_1$. Es decir, $v_2$ debe satisfacer $$\begin{align*} (A-4\,I)^2 v_2 &= \vec 0 & (A-4\,I)v_2 &= v_1 \end{align*}$$ Se verifica que $$v_2=\begin{bmatrix}-1/15\\0\\3/5\end{bmatrix}$$ satisface estas ecuaciones.

De ahí nuestra Jordan en la forma es $A=PJP^{-1}$ donde $$\begin{align*} P&=\begin{bmatrix}1&2&-1/15\\0&3&0\\ 0&0&3/5\end{bmatrix} & J&=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&1\\0&0&4\end{bmatrix} \end{align*}$$