¿Hay una función de suma total?

Question

Defina una función suma para ser una función parcial $F$ a partir de secuencias infinitas de números reales a la extensión de los reales, tal que:

(1) las Secuencias que son cero en todo, pero posiblemente la posición de uno se le asigna el valor en esa posición.

(2) Si $F(X) = c$$F(Y) = d$, e $c$ $d$ no son opuestos infinitos, a continuación,$F(X+Y)= c+d$.

(3) $F(cX)$ = $cF(X)$ , para $c$ un número real.

(4) Si $X$ $Y$ son dos secuencias que $Y$ $X$ con la inserción de un plazo $y$, entonces cualquiera de las $F(X)$ $F(Y)$ son tanto indefinido o $F(X) + y = F(Y)$.

Hay un resumen de la función que está definida en todas las secuencias de los números reales?

Answer 1

No sé si hay un total de función; sin embargo, suponiendo su existencia, decir $F=\varSigma$, podemos observar algunos valores bien definidos. Por ejemplo, $$\varSigma(1,a,a^2,a^3,...)=\frac{1}{1-a}\;\;\text{for}\;1\neq a\in\Bbb R,$$$$\varSigma(F_0,F_1,F_2,...)=-1,$$$$\varSigma(1,-2,3,-4,...)=\frac14,$$where $F_0=0,F_1=1,...$ are the Fibonacci numbers. Disappointingly for some, perhaps, $\varSigma(1,2,3,...)$ does not equal $-\frac{1}{12}$, but rather is $\pm\infty$ (I don't know which sign, but it looks as though the choice is arbitrary). The basic infinite result is $\varSigma(1,1,1,...)=\pm\infty$, and I guess that this extends to sequences $(p(0),p(1),p(2),...),$ where $p(\cdot)$ es el polinomio.

Los resultados que se muestran son claramente por la analítica de extensión de la escuela primaria fórmulas para la serie geométrica y sus derivados. No sé qué tan lejos podemos llegar empujando analítica de extensión de otras formas; pero claramente no funciona para $\zeta(-1)$.

Me puse a buscar una contradicción, pero todo lo que podía encontrar eran buenos resultados consistentes. Tal vez nada de lo que se encamina a una contradicción va a terminar en la permitida $\{-\infty,\infty\}$ "bandeja de pecado", donde se puede estar muy bien mantenido a un lado.