¿Debo preocuparme si no puedo resolver la mayoría de los ejercicios de mi libro de texto?

Question

Estoy estudiando por mi cuenta la introducción al análisis real. De las pruebas de cada sección de la lección y de las pruebas de cada sección de ejercicios, normalmente puedo resolver $\frac{1}{4}$ de ellos por mi cuenta. Después de intentar resolver las otras pruebas, me rindo y consulto el manual de soluciones (aunque siempre entiendo la solución, al final).

(1) ¿Debería preocuparme que no pueda resolver la mayoría de las pruebas por mí mismo?

(2) En las clases de matemáticas de nivel superior (de grado y de posgrado), ¿se espera que seas capaz de resolver la mayoría de las pruebas por ti mismo, o que, al final de alguna sección, simplemente entiendas todas las pruebas, independientemente de que puedas construirlas tú mismo?

Answer 1

Ser incapaz de resolver ejercicios no es una tragedia. Es un recordatorio de las herramientas que aún te faltan. Aquí tienes algunos consejos que pueden ayudarte.

Para resolver un ejercicio determinado, usted

• es necesario entender (y recordar) cada una de las definiciones relevantes y tener muy clara la notación implicada.
• debe asegurarse de que comprende todos los detalles del problema planteado.
• debe intentar establecer una conexión entre el problema en cuestión y los que ya ha podido resolver o los resultados que se le han presentado. Una gran parte de los ejercicios puede resolverse modificando una demostración que ya has visto para superar algunas dificultades adicionales. Tal vez ya conozcas la prueba bajo algunos supuestos adicionales o te hayan presentado un resultado ligeramente más débil. En estos casos, es útil volver a mirar la prueba relacionada y señalar la razón exacta por la que no funcionaría para tu problema en particular. Es posible que puedas sustituir estos pasos por otros que funcionen en tu caso.
• debería intentar imaginar primero un esbozo de prueba. Tener una estrategia decente antes de sumergirse en las dificultades técnicas puede ahorrarle mucho tiempo al descartar cualquier enfoque que falle por razones obvias. Dibuje diagramas, intente ver por qué la afirmación es válida para un ejemplo muy específico e intente ver por qué las suposiciones proporcionadas son necesarias construyendo contraejemplos que no satisfagan al menos una de esas suposiciones.
• debe tratar de recordar los enunciados y al menos las ideas clave de los teoremas que se le han presentado. Esto está estrechamente relacionado con los puntos 3 y 4 de la lista, ya que sólo se pueden aplicar si se reconoce el patrón subyacente. A veces, incluso el más leve recuerdo de haber visto algo similar en "ese libro verde" puede ser increíblemente valioso.
• confía en tus instintos. Al empezar a aprender un nuevo campo, a menudo nos falla la intuición. Sin embargo, tu intuición es la herramienta más poderosa que tienes a tu disposición y ninguna cantidad de predicciones fallidas debería impedirte consultarla. No hay nada de malo en adivinar lo que podría funcionar y simplemente calcular sus consecuencias. Tal vez su conjetura sea errónea y, una vez que haya encontrado un contraejemplo, es importante señalar que este enfoque no puede funcionar (en cuyo caso debería reconsiderar el punto 2). Tal vez sea correcto, pero pareces incapaz de demostrarlo. En cualquier caso, probar un nuevo enfoque te permite generar nuevas ideas, predecir nuevos caminos y, con suerte, te lleva por el buen camino.
• debería intentar ser optimista. Descarta sólo los enfoques que sabes a ciencia cierta que no funcionan. Es bastante común quedarse atascado a mitad de una prueba en algún detalle técnico que no parece poder superarse. En este punto, puede ser útil retroceder un poco e intentar un ángulo diferente. Estar equipado con algunos resultados parciales y una mejor comprensión de la tarea te permite establecer conexiones que antes podrías haber pasado por alto.
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Answer 2

"No hay un camino real hacia la geometría" (Euclides a Ptolomeo) @Muno, pero (parafraseando de alguna manera lo anterior) podemos esperar que siempre haya un camino. Uno se esfuerza, lo intenta, aprende los métodos básicos, y cuanto más experimentado sea, mejor podrá abordar un problema - no se apresure y no sea duro consigo mismo, definitivamente no se culpe (es mucho mejor "echarle la culpa al boogie" (The Jacksons)). Uno mismo sabe mejor el tiempo que necesita para adaptarse. Lo único que tienes que preguntarte es si te gusta dedicar tu precioso tiempo a las matemáticas. ¡Todo lo demás encontrará el camino!

Answer 3

Yo también tuve el mismo problema, pero cambié mi mentalidad y me recordé a mí mismo por qué amo la forma de arte humana más pura: las matemáticas. Es por su belleza intrínseca.

Cuando no puedo resolver un problema, cambio mi mentalidad de "Soy tan estúpido. No puedo resolverlo" a "Vaya, es una prueba, un truco, una aplicación, la unión de dos ideas, etc., tan esclarecedor". Al igual que alguien comentó antes que yo, lo añado a mi caja de herramientas matemáticas que me prepara más. No me enfado conmigo mismo por no obtener una respuesta, como no se enfadaría un joven director de cine por no hacer El Padrino. Veo las matemáticas como algo más grande que yo mismo, como un lugar en el que puedo admirar y aprender de ideas elegantes. Ya no creo que tenga que demostrarme nada a mí mismo ni a nadie más, así que ya no considero las matemáticas como un escenario para demostrar mi valía intelectual. Pienso en ellas como una galería que visito como un espectador ansioso. Cada visita me prepara para apreciar mejor la siguiente y, en ocasiones, añadir algo a la galería.

También mantengo un libro de resultados y pruebas elegantes que pensé que se habían manifestado de la nada. No sólo registro la pregunta y la respuesta, sino que también anoto exactamente qué me pareció elegante y por qué me gustó. Pronto te encontrarás admirando pruebas y encontrando enlaces que no habías visto antes. No hace falta ir a aguas muy sofisticadas para encontrar este tipo de resultados. Las matemáticas elementales están llenas de ellos. (El problema de Heron, por ejemplo).

Answer 4

La capacidad de resolver los problemas de los ejercicios indica un buen dominio de los conceptos fundamentales. Si es capaz de resolver $1/4^{th}$ de estos problemas, sigue siendo un porcentaje decente. En general, los problemas de los ejercicios son, de alguna manera, extensiones de la teoría desarrollada en la sección. Lo que puedes intentar es comprobar dónde se utilizan las hipótesis de los resultados en la demostración. ¿Qué pasa si elimino una de ellas? ¿Se puede seguir demostrando el teorema o hay algún fallo en alguna parte? Intenté hacerlo una vez para el "Teorema de la Intersección de Cantor" en topología y después de un poco de lucha, pude generar contraejemplos eliminando cada hipótesis. Esta práctica ayuda.

Answer 5

Un cuarto suena muy bajo. Tal vez los problemas sean extremadamente difíciles (viceversa), lo que supone un fallo de la pedagogía. Pero lo más probable es que los problemas sean razonables y no estén rindiendo a la altura de las expectativas.

Yo haría esto como mínimo:

1. Rehaz cada problema que tengas que buscar desde cero. Guarda la solución y haz como si no la hubieras visto (incluso el juego mental puede hacer que la práctica sea más útil). Luego trabaja todo el problema desde cero y actúa como si lo resolvieras por tu cuenta, ideando los trucos, etc. (la clave está en interiorizar). Además, vuelve una semana después y haz los problemas de nuevo. Desde cero.

2. Además, si hay alguno en el que te equivocas (aunque sea un error de signo trivial), entonces oblígate a hacerlo todo de nuevo (desde cero, sin mirar la solución ni otros intentos).

3. Oblígate a intentar TODOS los problemas antes de buscar soluciones para los que no puedes hacer. Al menos, reescribe el enunciado del problema y cambia algunos símbolos de lugar. A veces los problemas posteriores te darán pistas para los anteriores. Además, le da a tu subconsciente un poco de tiempo para jugar con un "tropezón". Cuando vayas al manual de soluciones del primer problema que te detuvo, obtén la información y reelabora el problema (como en el 2). Luego, mira si puedes hacer el siguiente "stumper" antes de buscarlo.

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Creo que si haces esto, te ayudará a aprender los materiales inmediatos (cosas con las que tienes problemas). Y empezarás a conseguir una tasa de éxito superior al 25% en el nuevo material.

P.d. Me doy cuenta de que esta es una pregunta antigua, pero para los buscadores de Internet...