Hace poco llegué al tema de las extensiones de campo en mi curso de álgebra abstracta, y ha habido una pequeña cuestión que me ha estado molestando y que esperaba poder aclarar.
Hemos definido un campo de extensión para que un campo F sea un campo E tal que $F \subseteq E$ y que $F$ es un campo bajo las operaciones de $E$ restringido a $F$ .
Suena bastante fácil y me doy cuenta de que llevamos mucho tiempo utilizando objetos de este tipo. Por ejemplo, sabemos que $\mathbb{C}$ es un campo de extensión de $\mathbb{R}$ .
Algo que me ha estado molestando un poco es que hemos empezado a demostrar teoremas donde necesitamos construir campos de extensión, pero estos campos de extensión no parecen contener el campo original $F$ sino una copia isomórfica de $F$ .
Por ejemplo, si nuestro campo fuera $F$ entonces $F[x]/(p(x))$ es un campo si $p(x)$ es irreducible, que contiene un subcampo isomorfo a $F$ . Parece extraño que en los teoremas (Texto de Gallian) que $F[x]/(p(x))$ se considera un campo de extensión de $F$ aunque en realidad no contenga $F$ como subconjunto, sino otro conjunto que es isomorfo.
No creo que normalmente hubiera pensado que esto fuera un gran problema, pero recuerdo que antes en el texto Gallian parece mencionar que incluso cuando las estructuras son isomorfas y que se comportan esencialmente igual, que tenemos que tener en cuenta que no son exactamente iguales.
Si esta distinción importa, ¿por qué no hacer que la definición de un campo de extensión diga simplemente que $E$ es un campo de extensión de $F$ si $E$ tiene un subcampo isomorfo a $F$ ? Esto parecería incluir todos los casos. ¿Se trata en gran medida de una cuestión histórica relacionada con la forma en que los matemáticos pensaban sobre las estructuras isomórficas en el pasado?
