Debe cada grupo un monoid, o no debería de ser un grupo de monoid?

Question

Pregunta: ¿Qué es más conveniente o útil? La escritura de las matemáticas, como si cada grupo es un monoid, o como si estas dos clases son disjuntas?

---

Discusión adicional. Definir un monoid de la siguiente manera.

Defn 1. Un monoid es un triple $(X,*,e)$ tal que $*$ es una operación binaria asociativa en $X$, e $e \in X$, e $e$ tiene la propiedad de que para todos los $x \in X$ sostiene que $x * e = e * x = x$.

A partir de aquí, hay al menos dos maneras de definir a un grupo.

Defn 2. Un grupo es un monoid $(X,*,e)$ tal que para todos los $x \in X$ existe $y \in X$ tal que $x*y=e$.

Defn 2'. Un grupo es un cuádruple $(X,*,e,i)$ tal que $(X,*,e)$ es un monoid, y $i$ es una función de $X \rightarrow X$, y para todos los $x \in X$ sostiene que $x * i(x) = e$.

Ahora entiendo que el minimalismo favorece Defn 2, mientras que los practicantes de álgebra universal favor Defn 3. Sin embargo, este no es mi pregunta.

Mi pregunta no es: ¿qué es preferible, Defn 2 o Defn 2'?

Más bien, mi pregunta es: cual es preferible, definiciones como Defn 2 de tal forma que cada grupo es un monoid, o definiciones como Defn 2' de tal manera que ningún grupo es monoid? Así que para aclarar, yo quiero saber: ¿qué es más conveniente o útil? La escritura de las matemáticas, como si cada grupo es un monoid, o como si estas dos clases son disjuntas?

Answer 1

En mi opinión la Definición 2' es la definición correcta (y la Definición 2 no es una definición, sino una caracterización), ya que sigue los principios generales de cómo estructuras algebraicas se definen en álgebra universal (por las operaciones de la satisfacción de ecuaciones), y por lo tanto también directamente generaliza a otras categorías, por ejemplo espacios topológicos. Un grupo topológico no es sólo un topológico monoid de tal forma que cada objeto tiene una inversa. También necesitamos que el inverso mapa es un mapa continuo (es un hecho interesante que para Mentir grupos este es automática). Por lo que es útil cuando la inversa mapa pertenece a los datos.

Hay varias otras razones por qué esto es importante: El subgrupo generado por un subconjunto $X$ de un grupo conjunto subyacente $\{a_1^{\pm 1} \cdots \dotsc \cdots a_n^{\pm 1} : a_i \in X\}$. Al ver a los grupos especiales monoids, usted puede olvidarse de la $\pm 1$ aquí.

Diferentes categorías deben siempre ser considerados como distintos. Esto ayuda a organizar las matemáticas mucho. Por desgracia, olvidadizo functors entre estas categorías son normalmente ignorados, tratadas como si fueran las identidades, pero por supuesto que no son. Por ejemplo, tenemos el olvidadizo functor $U : \mathsf{Grp} \to \mathsf{Mon}$. Resulta que es totalmente fiel (en muchos textos del grupo homomorphisms se definen de esa manera, por supuesto, de nuevo esto no es conceptualmente correcto). Se ha dejado adjoint (Grothendieck de la construcción) así como un derecho adjoint (grupo de unidades). En particular, conserva todos los límites y colimits. Estas propiedades de $U$ muestran que, a menudo (pero no siempre!) no hay daño cuando se identitfy $G$$U(G)$.

Por cierto, la Definición 2' es, conceptualmente, no completa todavía. Usted tiene que asumir la $x \cdot i(x) = i(x) \cdot x = e$. Esto es importante cuando el grupo de estudio de los objetos en la no-cartesiana categorías, también conocido como Hopf monoids, por ejemplo álgebras de Hopf. El axioma de la antípoda, a continuación, contiene los dos diagramas.

Answer 2

Las respuestas anteriores son muy completa. Permítanme añadir un modelo teórico punto de vista. (Yo lo hice a mí mismo preguntar que tipo de preguntas recientemente).

Para el modelo teórico, tu pregunta puede ser enunciada como : teniendo en cuenta que $\mathcal L_1$ el idioma $\{\ast, e\}$ $\mathcal L_2$ el idioma $\{\ast, e, i\}$, si un grupo se define como un $\mathcal L_1$-estructura (satisfacer algunas de $\mathcal L_1$-teoría de la $T_1$) o $\mathcal L_2$-estructura (satisfacer algunas de $\mathcal L_2$-teoría de la $T_2$) ?

Si tu objetivo es hablar de un grupo, se debe preferir $\mathcal L_2$. Por ejemplo, considerando un $\mathcal L_2$modelo $\mathfrak M \models T_2$ base $M$, la infraestructura generada por algunos $A \subseteq M$ es el subgrupo $\langle A \rangle$$M$. Pero teniendo un $\mathcal L_1$modelo $\mathfrak N \models T_1$ la subestructura generado por $A \subseteq N$ sólo el monoid generado por $A$ en el implícita monoid $N$ y, por tanto, la estructura generada por $A$ no es necesariamente el modelo de $T_1$. Esto demuestra que el lenguaje de $\mathcal L_1$ es el más adecuado para hablar de monoids de grupos.

Podemos incluso ir un poco más allá. Considerar el lenguaje de $\mathcal L_0 = \{\ast\}$ . Usted tiene suficiente para el estado de una teoría de la $T_0$ de los grupos : $$ \begin{aligned} \forall x \forall y \forall z, &\ (x \ast y) \ast z = x \ast (y \ast z) \\ \exists e \forall x, &\ x \ast e = x = e \ast x \\ \forall x \exists y, &\ x \ast y = e = y \ast x . \end{aligned} $$ Pero debido a la segunda declaración, la teoría no es $\forall\exists$ (es decir, no todas las frases de la teoría de la $T_0$ es equivalente a una sentencia de $\forall x_1 \dots \forall x_n \exists y_1 \dots \exists y_m, \varphi_0(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)$ $\varphi_0$ sin cuantificador). Tiene por resultado que un aumento de la unión de los grupos no es necesariamente un grupo (aquí el grupo , en el sentido de una $\mathcal L_0$-modelo de $T_0$). Es decir, los grupos que en ese sentido no tiene el más simple de inducción límite como un grupo. En realidad, ¿qué podría salir mal es que la unión no se podía neutral. Como se puede imaginar, el lengua $\mathcal L_0$ es más adecuado para asociativa de los magmas que para monoids o grupos.

Answer 3

En primer lugar, un grupo es un monoid donde cada elemento tiene dos caras, a la inversa, no sólo una cara inversa.

En segundo lugar, si se define un grupo a ser un monoid donde cada elemento tiene dos caras, a la inversa, o definir un grupo a ser un cuádruple $(G,\circ, e, i)$ donde $\circ $ es una operación binaria asociativa en $G$, $e$ es un dos caras de la identidad de la operación, y $i$ es un unario operación de asignar a cada elemento de una a dos caras, a la inversa, es irrelevante para la cuestión de si o no un grupo es un monoid. Las particularidades de una definición, son de poca importancia en cuanto a lo que una cosa real es. La razón por la que cada grupo es un monoid es que no es totalmente fiel olvidadizo functor de $Grp$ $Mon$(la categoría de grupos a la categoría de monoids). Eso significa que hay una forma de ver de cada grupo, ya que dan lugar a un monoid. Exactamente cómo se hace esto puede depender de las particularidades de la definición de los grupos y monoids. Pero, no importa que las definiciones que vamos a elegir para los conceptos de grupo y monoid, hay categorías de los resultados $Grp_1$, $Grp_2$, $Mon_1$, y $Mon_2$,$Grp_1 \cong Grp_2$$Mon_1 \cong Mon_2$, y no será la correspondiente olvidadizo functors.

Así, usted puede elegir cualquier forma de definir algo. Categoría de la teoría de entonces (si es que lo que define, da lugar a una categoría, que muy a menudo es el caso (pero no siempre)) dar una forma precisa a decir cuando dos definiciones de definir realmente la misma cosa (fuertemente de la misma forma, las categorías serán isomorfo, débilmente la misma (que es el tipo de igualdad que nos importa en matemáticas) significa que las categorías será equivalente). Y entonces, si cada blool es un gradnal se reduce a la existencia de una cierta agradable functor de$Blool$$Gradnal$. Esto es independiente de la elección de la definición que dio lugar a estas categorías, siempre y cuando las diferentes categorías de blools (resp. gradnals) son equivalentes.

En resumen: un concepto no se encuentra en una definición, sino en el (demasiado grande para existir) clase de equivalencia de categorías equivalentes. En algunos casos, las categorías deben ser sustituidos por $\infty$-categorías, lo que hace mucho más interesante y difícil (por ejemplo, esto es, en un sentido moderno de la topología algebraica: los espacios son los mismos que simplicial conjuntos, siempre y cuando uno considera el correspondiente $\infty $-categorías).

Answer 4

Si se define una estructura matemática, normalmente también desea definir la "válida" homomorphisms. Si utiliza sólo universal Cuerno expresiones para definir su estructura, entonces no hay una definición canónica para homomorphisms que automáticamente hace lo correcto. Se dice que un homomorphism $\pi:A\mapsto B$ ha de satisfacer "si $R^A(x_1,\ldots,x_n)$ $R^B(\pi(x_1),\ldots,\pi(x_n))$" para todas las relaciones $R$ sobre la estructura matemática que se puede definir por atómico expresiones en el lenguaje (como $R(x)\Leftrightarrow x=c$, $R(x,y)\Leftrightarrow f(x)=y$ o $R(x,y)\Leftrightarrow x\leq y$).

No siempre es posible usar solamente el universal Cuerno expresiones como axiomas (por ejemplo, un orden total ha $\forall x \forall y(x\leq y \lor y\leq x)$ como un axioma), pero es una buena idea hacerlo por las estructuras matemáticas donde es posible. Puede haber excepciones de esta regla, pero yo sólo quería explicar la motivación básica para evitar el "no existe" declaraciones (si es posible) en los axiomas de una estructura matemática.

Answer 5

Con la definición 2', cada grupo es todavía un monoid, para todas las prácticas de las intenciones y propósitos. Formalmente puede ser un triple y el otro una cuádruple, pero simplemente ignorando el último componente (es decir, el mapa de los elementos a su inversa), usted todavía obtener un monoid para cada grupo.

Si quieres hacer que una relación más formal, usted puede decir que usted tiene un mapa de $F \::\: (X,*,e,i) \to (X,*,e)$, lo que lleva a cada grupo a un monoid, y un mapa asociado $f \::\: X \to X \,:\, x \to x$ que toma elementos del grupo de elementos de la monoid y que es un monoid-isomorfismo.

En tales situaciones es este, con su habitual para, a continuación, no se distinguir entre un elemento (de un grupo) en el dominio de $F$ y su imagen en $F$.

Si desea formalizar aún más, estoy guessting que la categoría de teoría permite hacerlo muy bien. Otros tendrán que comentar sobre los detalles, a pesar de que mi conocimiento de la categoría de la teoría es bastante limitada...