Esta respuesta demuestra que, si $X$ es una variable aleatoria que satisface $E[X]=0$ y $E[X^2]=1$, $E[X^3] \in \mathbb{R}$, entonces
$$ E[X^4] \geq 1 + E[X^3]^2$$
Como en mi otra respuesta, la escala de la $X=Y/\sigma$ demuestra $E[(Y/\sigma)^4] \geq 1 + E[(Y/\sigma)^3]^2$.
Fix $m \geq 0$. En mi otra respuesta que he construido la siguiente variable aleatoria para demostrar la estanqueidad de la conjetura de la desigualdad:
\begin{align}
X^* &= \left\{ \begin{array}{ll}
a &\mbox{ with prob %#%#%} \\
(-1/a) & \mbox{ with prob %#%#%}
\end{array}
\right. \\
a &= (1/2)\left(m + \sqrt{m^2+4}\right)
\end{align}
Aquí me muestran que esta variable aleatoria se resuelve el problema de minimizar $1/(1+a^2)$ sujeto a $a^2/(1+a^2)$, $E[X^4]$, $E[X]=0$, y que la minimización de valor es:
$E[X^2]=1$$
Una vez que nos muestran esto, se deduce que para cualquier variable aleatoria $E[X^3]=m$ con $$ E[X^4] = c = 1 + m^2 $, $X$ obtenemos:
$E[X]=0, E[X^2]=1$$
Ahora si $E[X^3]\geq 0$ es una variable aleatoria que satisface $$ E[X^4] \geq 1+E[X^3]^2 $, podemos definir a la $X$ a la conclusión de
$E[X]=0, E[X^2]=1, E[X^3]<0$$
Por lo que el resultado deseado sería cierto independientemente de si $Y=-X$ o $$ E[X^4]=E[Y^4] \geq 1 + E[Y^3]^2 = 1 + E[X^2]^2 $.
Fix $E[X^3]\geq 0$. Definir $E[X^3]<0$ como el espacio de todas las variables aleatorias $m \geq 0$ que satisfacer $\mathcal{S}$. Definir el conjunto $X$ por:
$E[X^4]<\infty$$
Considere los siguientes dos problemas de optimización:
Problema 1 (Restringido problema):
\begin{align}
\mbox{Minimize:} \quad & y_4 \\
\mbox{Subect to:} \quad & y_1 = 0 \\
& y_2 = 1\\
& y_3 = m\\
& (y_1, y_2, y_3, y_4) \in \mathcal{A}
\end{align}
Problema 2 (sin las Restricciones del problema): Dados los números reales $\mathcal{A} \subseteq \mathbb{R}^4$, tenemos
\begin{align}
\mbox{Minimize:} \quad & y_4 + \lambda_1 y_1 + \lambda_2 (y_2-1) + \lambda_3 (y_3-m) \\
\mbox{Subect to:} \quad & (y_1, y_2, y_3, y_4) \in \mathcal{A}
\end{align}
Lema: (multiplicador de Lagrange teorema) Si $$ \mathcal{A} = \{\left(E[X], E[X^2], E[X^3], E[X^4]\right) : X \in \mathcal{S}\} $ es una solución para el problema sin restricciones que satisface $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$, entonces también es una solución a la limitación de problema.
Prueba: $(y_1, y_2, y_3, y_4)$ satisface las restricciones de la limitación de problema. Deje $y_1=0, y_2=1, y_3=m$ ser otro vector que satisface las restricciones de la limitación de problema. Queremos mostrar que $(y_1, y_2, y_3, y_4)$. Desde $(w_1, w_2,w_3,w_4)$ $y_4 \leq w_4$ resuelve el problema sin restricciones sobre todos los vectores en $(w_1, w_2,w_3,w_4) \in \mathcal{A}$ tenemos
$(y_1, y_2, y_3, y_4)$$
Sin embargo, desde $\mathcal{A}$, $$ y_4 + \lambda_1y_1 + \lambda_2(y_2-1) + \lambda_3(y_3-m) \leq w_4 + \lambda_1w_1 + \lambda_2(w_2-1) + \lambda_3(w_3-m) $, $y_1=w_1=0$, la desigualdad anterior se reduce a
$y_2=w_2=1$$
$y_3=w_3=m$
Ahora defina $$ y_4 \leq w_4$ (esto es coherente con la definición de $\Box$ para los 2 valores de variable aleatoria $a= (1/2)\left(m + \sqrt{m^2+4}\right)$ anterior). Tenga en cuenta que $a$. Definir los particulares siguientes números reales:
\begin{align}
\lambda_1 &= -2/a + 2a\\
\lambda_2 &= 1/a^2 - 4 + a^2\\
\lambda_3 &= -2a+2/a\\
c &= 1+m^2
\end{align}
Definir la función de $X^*$ por
$a \geq 1$$
He diseñado estas $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ valores para obtener el siguiente agradable factorización: Para todos los $$ f(x) = x^4 + \lambda_1x + \lambda_2(x^2-1) + \lambda_3(x^3-m)$ tenemos:
$\lambda_i$$
Por tanto, para todas las variables aleatorias $x \in \mathbb{R}$ tenemos:
$$ f(x) = (x-a)^2(x+1/a)^2+c \geq c $$
y así
$X \in \mathcal{S}$$
Es decir,
$$ f(X) \geq c $$
Por otro lado, el 2 con valores de variable aleatoria $$ E[f(X)] \geq c$ definido anteriormente se lleva a valores de cualquiera de las $$E[X^4] + \lambda_1E[X] + \lambda_2(E[X^2]-1) + \lambda_3(E[X^3]-m) \geq c $ o $X^*$, y así para todas las realizaciones de la variable aleatoria tenemos
$a$$
Y por lo $-1/a$.
Por lo tanto, que el 2-valores de variable aleatoria minimiza la expresión
$$ f(X^*) = (X^*-a)^2(X^*+1/a)^2+c = c $$
sobre todas las variables aleatorias $E[f(X^*)]=c$. En particular, en sus momentos $$ E[X^4] + \lambda_1E[X] + \lambda_2(E[X^2]-1) + \lambda_3(E[X^3]-m)$$
resolver el problema de optimización sin restricciones. Además, a partir de mi respuesta anterior, sabemos que los momentos de $X \in \mathcal{S}$ satisfacer $$(y_1^*,y_2^*,y_3^*,y_4^*) = (E[X^*], E[(X^*)^2], E[(X^*)^3], E[(X^*)^4])$, y así por el Lagrange multplier lema llegamos a la conclusión de que $X^*$ también es óptima para la limitación de problema. En particular, el valor de $y_1^*=0, y_2^*=1, y_3^*=m$ alcanzado por esta 2 valores de variable aleatoria es el valor mínimo posible de $(y_1^*,y_2^*,y_3^*,y_4^*)$ sobre todas las variables aleatorias que satisfacer $y_4^*$. De hecho, sabemos que:
$E[X^4]$$
$E[X]=0, E[X^2]=1, E[X^3]=m$
