"Continuidad" del movimiento browniano integral estocástica integral

Question

Me gustaría demostrar una buena propiedad de una integral estocástica con respecto al movimiento browniano.

Deje que$(H_t)_{t\geq0}$ sea un proceso progresivo y limitado que sea continuo en$0$ y$B$ un movimiento browniano estándar. Entonces

$\frac{1}{B_{\varepsilon}}\int_{0}^{\varepsilon}H_s\mathbb{d}B_s\rightarrow H_0$ como$\varepsilon\rightarrow0$ en probabilidad.

Alguien tiene algunos consejos? Estoy realmente desconcertado y no sé por dónde empezar.

EDIT_2.0 . Aplicar Ito-isometría puede ser un poco complicado. Este movimiento browniano en el denominador me preocupa un poco: /

Answer 1

Sugerencia De Dejar $\varepsilon>0$, $\delta>0$. Tenemos

$$\begin{align*} \mathbb{P} &\left( \left| \frac{1}{B_{\varepsilon}} \cdot \int_0^{\varepsilon} H_s \, dB_s - H_0 \right|>\delta \right) \\ &= \mathbb{P} \left( \left| \frac{1}{B_{\varepsilon}} \cdot \int_0^{\varepsilon} (H_s-H_0) \, dB_s \right|>\delta \right) \\ &\leq \mathbb{P} \left( \left| \frac{1}{B_{\varepsilon}} \cdot \int_0^{\varepsilon} (H_s-H_0) \, dB_s \right|>\delta, \left| \frac{\sqrt{\varepsilon}}{B_{\varepsilon}} \right| \leq K \right)+ \mathbb{P} \left( \left| \frac{\sqrt{\varepsilon}}{B_{\varepsilon}} \right| > K \right) \\ &\leq \mathbb{P} \left( \left| \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} \cdot \int_0^{\varepsilon} (H_s-H_0) \, dB_s \right|>\frac{\delta}{K} \right)+ \mathbb{P} \left( \frac{|B_{\varepsilon}|}{\sqrt{\varepsilon}} < \frac{1}{K} \right)\\ &=: I_1+I_2 \end{align*}$$

para cualquier $K>0$. Desde $\frac{B_{\varepsilon}}{\sqrt{\varepsilon}} \sim N(0,1)$, se puede elegir $K>0$ (independiente de $\varepsilon$) tales que

$$I_2 \leq \frac{\varepsilon}{4}$$

Durante el primer período de $I_1$ aplicar la desigualdad de Markov y Itô la isometría para demostrar que converge a cero, como se $\varepsilon \to 0$, mediante la continuidad de $H$$0$.

Observación detallada de la prueba se puede encontrar en Dean Isaacson, el Estocástico Integrales y derivadas (1969).