Límite de solución del problema de Cauchy

Question

Tengo el siguiente problema de Cauchy:

\begin{align} y'(t) = \arctan(t^3(y-1)) \\ y(0) = \alpha \end{align}

Quiero estudiar el límite de la solución en el límite.

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

Sé que la función es $C^\infty$ por lo que es Lipshitz y luego tengo la unicidad y existencia de la solución global para cada una de las $\alpha$.

La constante de la solución es y = 1. Por la singularidad, otras soluciones, no el interés de esta línea.

Si $\alpha < 1$, entonces tengo que la función se incrementa monótonamente hasta $\alpha$ y luego disminuye monótonamente hasta el infinito.

Si $\alpha > 1$, entonces tengo que la función decrece monótonamente hacia abajo a $\alpha$ y, a continuación, aumenta monótonamente hasta el infinito.

Esto significa que siempre tengo el límite tanto en $-\infty$ y a las $\infty$ por lo que alfa. Sin embargo, mi problema ahora es encontrar el límite.

Alguna sugerencia?

Answer 1

Voy a hacer caso a$\alpha>1$ e $t\to+\infty$. Por la singularidad, $y(t)>1$ para todos los $t>0$. Esto implica que $y'(t)\ge0$ y que $y$ es cada vez mayor. En particular, $y(t)\ge\alpha$ para todos los $t>0$. A continuación, $y'(t)\ge\arctan(t^3(\alpha-1))$ para todos los $t>0$. Ahora sigue fácilmente que $\lim_{t\to+\infty}y(t)=+\infty$.