Si dos límites no existen, ¿estamos seguros de que el límite de la suma no existe?

Question

Esta es una pregunta de verdadero/falso.

Si los límites $$\lim_ {x\to a}\ f(x)\quad \text{ and }\quad \lim_ {x\to a}\ g(x)$$ no existen, los límites $$\lim_ {x\to a}\ (f(x)+g(x))\quad \text{ and }\quad \lim_ {x\to a}\ (f(x)g(x))$$ tampoco existen.

Mi idea es que, porque $$\lim_ {x\to a}\ (f(x)+g(x))=\lim_ {x\to a}\ f(x)+\lim_ {x\to a} g(x)$$ entonces los límites no existen, ¿correcto?

Answer 1

$\mathbb{FALSE}$ .
Dejemos que $f=1/(x-a)$ y $g=-1/(x-a)$

Su hipótesis sobre el producto también es falsa;
Dejemos que $f=1/\sin(1/(x-a))$ y $g=\sin(1/(x-a))$

Answer 2

Considere $f(x) = \frac{1}{x}$ y $g(x) = -\frac{1}{x}$ . Tome el límite de dos lados como $x \to 0$ .

Answer 3

Generalmente. elige una función $f$ con $$\lim_{x\to a} f(x) \neq C \in \mathbb K$$ y luego eligió $g(x) = -f(x)$ para un contraejemplo sobre la adición y
$h(x) = \frac1{f(x)}$ (donde se define y $\lim\limits_{x\to a} h(x) \neq D \in \mathbb K$ ) para un contraejemplo sobre la multiplicación.

Answer 4

Depende: si al menos uno entre $f(x)$ y $g(x)$ no está bien definida en ninguna vecindad del punto límite $a$ (excepto el punto $a$ mismo), entonces por supuesto tampoco es $f(x)+g(x)$ o $f(x)g(x)$ y por tanto los límites de la suma y el producto no existen . Por ejemplo, tomar $f(x)=\sqrt{x}$ y $a=-1$ entonces $$ \lim_{x\to -1}\sqrt{x} $$ no existe (porque $f(x)$ se define sólo para $x\geq0$ ), ni tampoco $$ \lim_{x\to -1}\big(\sqrt{x} + g(x)\big) $$ para cualquier función $g(x)$ (aunque el límite de $g$ existe).

De lo contrario, es decir, si se puede encontrar una vecindad adecuada de $a$ en el que ambos $f(x)$ y $g(x)$ están bien definidos (excepto, a lo sumo, en el punto $a$ ), entonces no se puede decir . De hecho, si $\lim_{x\to a}f(x)$ no existe, entonces toma $g(x)=-f(x)$ y tienes $$ \lim_{x\to a} \big(f(x) + g(x)\big) = 0 $$ por lo que el límite de la suma existe. Como contraejemplo, en cambio, tomemos $f(x)=g(x)=\frac{1}{x}$ y $a=0$ . Entonces $$ \lim_{x\to 0} f(x)~,~\lim_{x\to 0}g(x)~,~\text{and}~\lim_{x\to 0}\big(f(x)+g(x)\big) $$ no existen.

Los mismos argumentos son válidos también para el producto.

Answer 5

Falsos. Lo esencial es que la "inexistencia" de los límites de $f$ y $g$ pueden "anularse" entre sí al acercarse a $a$ . Por ejemplo, se puede ir a $+\infty$ mientras que el otro va a $-\infty$ y si esto ocurre de forma correcta, se cancelarán exactamente y $f+g$ tenderá, digamos, $0$ . Mira los ejemplos en las otras dos respuestas.

No puedes hacerlo:

$$\lim_ {x\to a}\ (f(x)+g(x))=\lim_ {x\to a}\ f(x)+\lim_ {x\to a} g(x)$$

Porque esa regla sólo funciona si los límites de $f$ y $g$ existen en $a$ .