Matemáticas tropicales y teoría de categorías enriquecidas

Question

¿Existe una conexión entre las matemáticas tropicales y el enfoque de la teoría de categorías enriquecidas de Lawvere para los espacios métricos? Supongo que a continuación daré una respuesta parcial a esto, pero me refiero a si se pueden poner formalmente al mismo nivel en algún sentido?

Desde el punto de vista lawveriano se hace teoría de categorías con los números reales no negativos extendidos, [0,∞] o R _≥0 ∪∞, equipado con + como producto 'tensorial' y max como producto o suma 'categórica'. En las matemáticas tropicales se trabaja (al parecer) con los reales extendidos R ∪∞ equipado con el 'producto' + y la 'suma' máx. (o mín. dependiendo de tu punto de vista creo).

En el enfoque de la teoría de la categoría enriquecida de los espacios métricos, se tiene la noción de núcleo (o bimódulo o profunctor, según el punto de vista) entre dos espacios métricos X y Y que no es más que una función de distancia no creciente K:X × Y ->[0,∞]. La noción correcta de función sobre un espacio métrico es aquí una función de distancia no creciente φ:X ->[0,∞]. Entonces la transformación de una función φ por un núcleo K es una función sobre Y definido por

K (φ)( y ):= inf _{<i>x </i>ε <i>X </i>} ( φ( x ) + K ( x,y ) ).

Existe igualmente una noción dual que toma funciones sobre Y a las funciones en X .

K ^ (ψ)( x ):= sup _{<i>y </i>ε <i>Y </i>} ( ψ( y ) - K ( x,y ) ).

Esto se explica con un poco más de detalle en un post en el n-Café de categoría .

Me han señalado que se parecen a la transformada de Legendre. Y buscando en internet encontré que la matemática tropical es una forma de interpretar la transformada de Legendre como una "transformada integral".

Entonces, ¿alguien ha considerado alguna conexión formal entre estos dos puntos de vista?

Answer 1

Quizá sepas que a lo largo de los años hemos tenido muchas discusiones sobre mecánica matricial en el Café. Dependiendo del aparejo (anillo sin negativos) que se utilice, se termina con una forma diferente de mecánica -clásica, cuántica, estadística- en la que se multiplica a lo largo de las trayectorias y la suma sobre las mismas. Incluso echamos un vistazo a la teoría de la homotopía como una mecánica de valores de verdad, por ejemplo, para la conectividad de caminos entre dos puntos suma (en este caso O, por lo que existe) caminos para los que el producto (en este caso Y) de los valores de verdad para los puntos en el camino de estar en el espacio. Esperaba que pudiéramos hacer algo interesante transformando las diferentes mecánicas mediante morfismos de aparejo. Así sabríamos, por ejemplo, que si una partícula clásica puede moverse de x a y, que x e y están conectados por un camino.

En tu pregunta, estás buscando más allá de las matrices correspondientes a un único espacio, núcleos de valores de aparejo sobre dos espacios X e Y. En el caso de la transformada de Legendre, la elección es para espacios relacionados, por ejemplo, un espacio vectorial y su dual. Esta transformación suele ser una buena forma de formar un problema de optimización dual correspondiente (posiblemente más fácil de resolver). Sin embargo, es interesante pensar en pares de espacios más generales.