El problema es:
Dado f tal que$f(0)=0$ y$f'(x) = [f(x)]^3$, muestre que$f(x) = 0\; \forall x \in [0,\infty)$. Quería usar Cauchy-Picard, pero mi hermana dijo que solo debería resolverse con un análisis real básico. Cualquier ayuda sería apreciada.
Respuestas
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Deje que$x_0$ sea el máximo de$x$ tal que$f(t)=0$ para$t\in[0,x]$.
Si$x_0$ es finito:
Deje que$1>a>0$ sea tal que$|f(x)|<1/M$ para su favorito$M>1$ en$[x_0,x_0+a]$.
Entonces para $|f(x)|=\left|\int_{x_0}^{x}f'(t)dt\right|=\left|\int_{x_0}^{x}f^3(t)dt\right|\leq 1/M^3$.
Repitiendo el mismo argumento, utilizando el nuevo límite encontrado$x\in[x_0,x_0+a]$ en lugar de$1/M^3$ y así sucesivamente, obtenemos ese$1/M$ para todos$|f(x)|<1/M^{3^{n}}$, en$n$. Por lo tanto,$x\in[x_0,x_0+a]$ para$f(x)=0$.
Por lo tanto,$x\in[x_0,x_0+a]$ no es finito.
avs
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803
Formalmente, este es un separables ecuación: $$ {df \más de dx} = f(x)^3, $$ así: $$ dx = {df \sobre f^3}. $$ Sin embargo, esto sería válido sólo en un barrio de un estado donde $f(x) \neq 0$. Ya que, por el contrario, $f(0) = 0$, la inspección directa muestra que $f(x) \equiv 0$ es una solución. A ver de que es única, considere la posibilidad de los subconjuntos de la $f$-eje invariantes bajo el flujo del campo vectorial $v(f) = f^{3}$. Hay sólo tres subconjuntos: el estrictamente positivo semieje $f>0$, la estrictamente negativo semieje $f<0$, y el punto de $f=0$. Dado que una solución para la educación a distancia debe estar contenida en uno de los subconjuntos, se sigue que debe estar en $\{0\}$; es decir, $f \equiv 0$.
Daniel Schepler
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156
Usted podría "desplegar" la prueba de Cauchy-Picard, con el fin de obtener una real básica de análisis de la prueba que sería algo como esto:
Desde $f$ es diferenciable, $f$ es continuo, de modo que elija $\delta > 0$ tal que $\delta \le 1$, e $|f(x)| < \frac{1}{2}$ siempre $|x| < \delta$. Deje $A := \sup \{ |f(x)| : x \in [0, \delta] \}$. A continuación, para $x \in [0, \delta]$, $f(x) = \int_0^x [f(t)]^3 \, dt$, así $$|f(x)| \le \int_0^x |f(t)|^3 \, dt \le x A^3.$$ Por lo tanto, $A \le \delta A^3 \le A^3$, que junto con el hecho de que $0 \le A \le \frac{1}{2}$ implica que el $A = 0$.
Por lo tanto, hemos demostrado que $f(x) \equiv 0$$x \in [0, \delta]$, para algunas de las $\delta > 0$. A partir de aquí, la prueba concluye mediante la traducción de la invariancia de la ecuación diferencial, junto con una conexión tipo de argumento.
Roger Hoover
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56
Dejar $a=\min\left(1,\sup\left\{x\in\mathbb{R}^+: |f(x)|\leq 1\right\}\right)$.
Vamos a definir$g(x)=\left\{\begin{array}{rcl} f(x) &\text{if} & x\in\left[0,\frac{a}{2}\right]\\ f(a-x)&\text{if}& x\in\left[\frac{a}{2},1\right]\end{array}\right.$
Al aplicar la desigualdad de Wirtinger a$g(x)$ obtenemos:$$\int_{0}^{a}g(x)^2\,dx \leq \frac{a^2}{\pi^2}\int_{0}^{a}g'(x)^2\,dx \leq \frac{a^2}{\pi^2}\int_{0}^{a} g(x)^6\,dx\leq \frac{a^2}{\pi^2}\int_{0}^{a}g(x)^2\,dx $ $ por lo tanto,$g(x)\equiv 0$ en$[0,a]$ y$f(x)\equiv 0$ en$\left[0,\frac{a}{2}\right]$.
Al cambiar y repetir el mismo argumento, obtenemos$f(x)\equiv 0$ en$\mathbb{R}^+$.
