Valores propios de matrices de bloques con valores propios conocidos

Question

Tengamos la siguiente matriz de$(n+1) \times (n+1)$ con elementos de bloque

$ \ mathbf {Y} = \begin{bmatrix} \mathbf{A} & - \mathbf{w} \\ - \mathbf{w}^{T} & b \end {bmatrix} $

donde$\mathbf{A}$ es una matriz$n \times n$,$\mathbf{w}$ es un vector$n$ - dimensional, y$b$ es un escalar.

¿Es posible calcular los valores propios de$\mathbf{Y}$ si ya conocemos los valores propios de$\mathbf{A}$, así como los valores de$\mathbf{w}$ y$b$?

¡Gracias por adelantado!

Answer 1

No, no es. Considere el siguiente ejemplo en el caso$n=2$: $$ Y_1 = \ pmatrix {1 & 0 & 1 \ cr 0 & -1 & 0 \ cr 1 & 0 & 0 \ cr}, \ Y_2 = \ pmatrix { -1 & 0 & 1 \ cr 0 & 1 & 0 \ cr 1 & 0 & 0 \ cr} $$ Aquí$A_1 = \pmatrix{1 & 0\cr 0 & -1\cr}$ y$A_2 = \pmatrix{-1 & 0\cr 0 & 1\cr}$ tienen los mismos valores propios, y los$b$ y $w$ son lo mismo. Pero$Y_1$ y$Y_2$ tienen diferentes determinantes ($+1$ y$-1$ respectivamente) y, por lo tanto, valores propios diferentes.

Answer 2

Esta no es una respuesta (como Robert ya ha proporcionado una), pero da una pista de cómo el $w$ afecta a los valores propios (y no encaja en los comentarios), en algunos casos particulares.

Si $U^T YU=\Lambda$ donde $\Lambda$ es diagonal con elementos $\lambda_1,...,\lambda_n$, luego $\begin{bmatrix} U^T & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Y & -w \\ -w^T & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \Lambda & -Uw \\ -w^T U & b \end{bmatrix}$. Deje $\tilde{w} = Uw$ por conveniencia.

Supongamos $x \notin \{\lambda_1,...,\lambda_n\}$, luego tenemos \begin{eqnarray} \det(\begin{bmatrix} xI-\Lambda & \tilde{w} \\ \tilde{w}^T & x-b \end{bmatrix}) &=& \det (xI-\Lambda)(x-b - \tilde{w}^T (xI-\Lambda)^{-1} \tilde{w}) \\ &=& \det (xI-\Lambda)(x-b - \sum_i \frac{\tilde{w}_i^2}{x-\lambda_i}) \\ y = y (x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_n)(x-b)-\sum_i \tilde{w}_i^2 \prod_{j \neq i}(x -\lambda_j) \end{eqnarray} Por lo tanto $\det(xI-Y) = (x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_n)(x-b)-\sum_i \tilde{w}_i^2 \prod_{j \neq i}(x -\lambda_j)$.