Sin rastro de tensor de tensión-energía en$d=2$

Question

Esta es una pregunta con respecto a Francesco, la sección 4.3.3. En esta sección, se considera a las dos en punto de la función $$ S_{\mu\nu\rho\sigma}(x) = \left< T_{\mu\nu}(x) T_{\rho\sigma}(0)\right> $$ Luego pasa a afirmar que la simetría de la tensión tensor de energía implica $$S_{\mu\nu\rho\sigma}(x) = S_{\nu\mu\rho\sigma}(x)~~~(1)$$ A pesar de que él no menciona esto, supongo que esto es cierto sólo cuando $x \neq 0$ desde el EM tensor es simétrico en una correlación tan largo como los otros campos en el correlacionador no son evaluados en el mismo punto.

---

EDIT: Debido a algunos comentarios, voy a explicar por qué pienso así. Si una teoría de Poincaré es invariante, ha conservado las corrientes $T^{\mu\nu}$ de las traducciones y $$ j^{\mu\nu\rho} = T^{\mu\nu} x^\rho - T^{\mu\rho} x^\nu $$ para la transformación de Lorentz. Para completar, también tenga en cuenta que si la teoría de la escala de la invariancia de la dilatación de la corriente es $$ j^\mu_D = T^{\mu\nu} x_\nu $$ En una teoría clásica, la conservación de estas corrientes implica simetría y tracelessness de la tensión tensor de energía. En la teoría cuántica, tenemos una Identidad de Barrio, que para cada una de las corrientes lee \begin{equation} \begin{split} \partial_\mu \left< T^\mu{}_\nu X \right> &= \sum\limits_{i=1}^n \delta^d(x-x_i) \frac{\partial}{\partial x_i^\nu} \left< X \right> \\ \partial_\mu \left< j^{\mu\nu\rho} X \right> &= \sum\limits_{i=1}^n \delta^d(x-x_i) \left( x_i^\rho\frac{\partial}{\partial x_i^\nu} - x_i^\nu\frac{\partial}{\partial x_i^\rho} - i S_i^{\mu\nu} \right) \left< X \right> \\ \partial_\mu \left< j^\mu_D X \right> &= - \sum\limits_{i=1}^n \delta^d(x-x_i) \left( x_i^\alpha \frac{\partial}{\partial x_i^\alpha} + \Delta_i \right) \left< X \right> \end{split} \end{equation} donde $X = \Phi_1(x_1) \cdots \Phi_n(x_n)$, $S^{\mu\nu}_i$ es la representación de la Lorentz álgebra en virtud de la cual $\Phi_i(x_i)$ transforma y $\Delta_i$ es la escala de la dimensión de $\Phi_i(x_i)$. Ahora conectar la representación exacta de las corrientes $j^{\mu\nu\rho}$$j^\mu_D$, nos encontramos con \begin{equation} \begin{split} \partial_\mu \left< T^\mu{}_\nu X \right> &= \sum\limits_{i=1}^n \delta^d(x-x_i) \frac{\partial}{\partial x_i^\nu} \left< X \right> \\ \left< \left( T^{\mu\nu} - T^{\nu\mu} \right) X \right> &= i \sum\limits_{i=1}^n \delta^d(x-x_i) S_i^{\mu\nu} \left< X \right> \\ \left< T^\mu{}_\mu X \right> &= \sum\limits_{i=1}^n \delta^d(x-x_i) \Delta_i \left< X \right> \end{split} \end{equation} Claramente, la EM tensor simétrico en virtud de las funciones de correlación en los puntos de $x = x_i$.

---

Ahora, el uso de estas propiedades de simetría y algunas otras propiedades en virtud de la paridad, argumenta que $$ S^\mu{}_\mu{}^\sigma{}_\sigma(x) = \left< T^\mu{}_\mu(x) T^\sigma{}_\sigma(0)\right> = 0 $$ Siguiendo los argumentos anteriores, esto debe ser verdad sólo en $x \neq 0$. Sin embargo, Francesco afirma que esta tiene en todas partes y por lo tanto se concluye que el $\left< T^\mu{}_\mu(0)^2 \right> = 0$. ¿Cómo es que esto tiene sentido?

Answer 1

Creo que la fuente original de esta afirmación es el famoso documento inédito de Luescher y Mack. Todos se cita. Es más rigurosa que, matemáticamente, y en general (no parten de paridad) que Di Francesco. Se inicia en las páginas 1 y 2 del manuscrito. La prueba a continuación es básicamente la misma prueba, solo con el agregado de detalles y un poco de notación diferente.

Supuestos: $T_{\mu\nu}$ son locales covariante campos de dimensión 2 y $$T^{\dagger}_{\mu\nu} = T_{\mu\nu}, \quad T_{\mu\nu} = T_{\nu\mu},\quad \partial^{\mu}T_{\mu\nu} = 0.$$ por otra parte, se supone que las funciones de correlación están bien definidos y se comportaban, y satisfacer habitual axiomas de CFT como se indica por ejemplo, en esta página de nLab.

Prueba: Primero definimos la 2-funciones de punto $$ S_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x}, \vec{y}) := \text{continuación analítica de } \langle \Omega \mediados de T_{\mu\nu}(\vec{x}) T_{\rho\sigma}(\vec{y}) \mid \Omega \rangle. $$ Todos los $S$'s son de la traducción de todos los idiomas, así que bien podemos establecer $\vec{y}=0$ lo que nos deja con $$ S_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x}) := \langle \Omega \mediados de T_{\mu\nu}(\vec{x}) T_{\rho\sigma}(0) \mid \Omega \rangle. $$ Esta función es real analítica para $\vec{x}\in\mathbb{R}^2,\, \vec{x}\neq 0$, y debido a la invariancia bajo dilataciones, y la suposición de que $T_{\mu\nu}$'s son de conformación de peso 2, tenemos

\begin{equation} S_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x})=\lambda^4 S_{\mu\nu\rho\sigma}(\lambda \vec{x})\quad\forall\lambda\in\mathbb{R}.\quad\quad (1) \end{equation} Por otra parte, de $T_{\mu\nu}=T_{\nu\mu}$ tenemos $$ S_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x})=S_{\nu\mu\rho\sigma}(\vec{x})=S_{\mu\nu\sigma\rho}(\vec{x}).\quad\quad (2) $$ Además, por la situación, la invariancia bajo traslaciones y la Ecuación 1 con $\lambda=-1$ tenemos $$ S_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x},0)=S_{\rho\sigma\mu\nu}(0,\vec{x})=S_{\rho\sigma\mu\nu}(-\vec{x},0)=S_{\rho\sigma\mu\nu}(\vec{x},0), $$ o en notación abreviada $$ S_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x}) = S_{\rho\sigma\mu\nu}(\vec{x}) .\quad\quad (3) $$ A partir de las Ecuaciones 2 y 3 se observa que el $S_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x})$ tiene 6 componentes independientes y también teniendo en cuenta la Ecuación 1 podemos escribir $$ S_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x}) = (\vec{x}^{\,2})^{-4}\sum_{i=1}^6 \alpha_i f^{\,i} _{\mu\nu\sigma\rho}(\vec{x}),\quad \alpha_i\in\mathbb{C},\quad\quad (4) $$ donde \begin{align} &f^{1}_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x})=(\vec{x}^{\,2})^2 g_{\mu\nu} g_{\rho\sigma},\\\\ &f^{2}_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x})=(\vec{x}^{\,2})^2 (g_{\mu\rho} g_{\nu\sigma}+g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho}),\\\\ &f^{3}_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x})=\vec{x}^{\,2} (g_{\mu\nu} x_\rho x_\sigma + g_{\rho\sigma} x_\mu x_\nu ),\\\\ &f^{4}_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x})=x_\mu x_\nu x_\rho x_\sigma,\\\\ &f^{5}_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x})= \vec{x}^{\,2} \left (g_{\mu\nu} (x_\rho \varepsilon_{\sigma\delta}x^\delta+x_\sigma\varepsilon_{\rho\delta}x^\delta )+ g_{\rho\sigma} (x_\mu\varepsilon_{\nu\delta} x^\delta + x_\nu \varepsilon_{\mu\delta}x^\delta) \right),\\\\ &f^{6}_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x})= \left( x_\mu \varepsilon_{\nu\delta}x^\delta +x_\nu \varepsilon_{\mu\delta}x^\delta \right) x_\rho x_\sigma + x_\mu x_\nu \left( x_\rho \varepsilon_{\sigma\delta}x^\delta + x_\sigma \varepsilon_{\rho\delta}x^\delta \right), \end{align} y $$ g_{\mu\nu}=\delta_{\mu\nu},\quad \varepsilon_{\mu\nu}=-\varepsilon_{\nu\mu},\quad \varepsilon_{01}=+1,\quad \vec{x}^{\,2}=(x^0)^2+(x^1)^2. $$ La ecuación de continuidad $\partial^\mu T_{\mu\nu}=0$ implica que el $\partial^\mu S_{\mu\nu\rho\sigma}(\vec{x}) = 0$ y por lo tanto reduce el número de independientes $\alpha_i$'s a 2 constantes arbitrarias $\alpha_+$ $\alpha_-$ (comprobado yo mismo usando Mathematica): \begin{alignat*}{6} &\alpha_1 = 3 \alpha_+,\quad &&\alpha_2 = -\alpha_+,\quad \alpha_3 = -4\alpha_+,\quad \alpha_4 = 8\alpha_+,&\\ &\alpha_5 = \alpha_-,\quad &&\alpha_6 = -2\alpha_-. & \end{alignat*} La inserción de estos valores en la Ecuación (4) obtenemos: $$ S^{\mu}_{\;\mu\rho\sigma} (\vec{x}) = S^{\mu\;\rho}_{\;\mu\;\rho} (\vec{x}) = 0, $$ es decir,$\langle\Omega \mid T^\mu_{\;\mu}(\vec{x})\, T^\rho_{\;\rho} (0)\mid\Omega\rangle = 0$, que por el Reeh-Schlieder Teorema implica que $T^\mu_{\;\mu}(\vec{x})=0$.

Ahora para ser capaz de aplicar Reeh-Schlieder, en realidad tenemos que ir a $\vec{x}=0$ como ha señalado correctamente. Y la razón por la que podemos hacer esto es la continuación analítica, citando p 110 de R. JOST: La Teoría General de Cuantificada Campos, 1965 (el mismo paso en relación con el lema:

"Tal Wigtman de distribución por lo tanto se desvanece en el real regularidad puntos y así, a continuación analítica de forma idéntica".

tl;dr continuación analítica