Probar si o no $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}\right)}$ convergen?

Question

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\left(1 +\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}\right)}$$

Estoy tratando de usar límite de la prueba de comparación para la prueba de esta serie,

Deje $a_n = \frac{1}{n\left(1 +\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}\right)}$ $b_n = \frac{1}{n}$

$\lim_\limits{{n\to \infty }}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)$

$=\lim _\limits{{n\to \infty }}\left(\frac{\frac{1}{n\left(1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}\right)}}{\frac{1}{n}}\right)$

$=\lim _\limits{{n\to \infty }}\left(\frac{1}{\left(1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}\right)}\right)$

Este límite será siempre mayor que $0$, por lo tanto

$\sum _{n=1}^{\infty }\:\frac{1}{n}$ diverge, $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\left(1 +\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}\right)}$ diverge.

Es este trabajo válido o no es la mejor solución para esta pregunta?

Answer 1

Desde $\sum_{k=1}^n \frac1{k} = \ln(n) + O(1) $, $\dfrac1{n\sum_{k=1}^n \frac1{k}} =\dfrac1{n(\ln(n)+O(1))} $ la suma de la que se aparta, por ejemplo, la condensación.

Answer 2

Voy a tratar de trabajar en algún tipo de dibujo. Como en un comentario, la mayoría de los aspectos elementales de la prueba de la Integral de la Prueba de dar a esta escritura: $$ H_n = 1 + \frac {1}{2} + \frac {1}{3} + \cdots + \frac {1}{n}, $$ tenemos el muy ordinario $$ H_n > \log ( n+1) $$ y $$ H_n < 1 + \log n. $$ Aquí el logaritmo de base $e \approx 2.71828.$

Dibujé en color, pero mi escáner hace poco con papel de gráficos en color

Answer 3

Como el término general es decreciente, podemos aplicar Cauchy condensación de criterio. La convergencia de la serie (o en lugar de $\sum \frac 1{n\ln n}$) es por lo tanto equivalente a la de $$\sum 2^k\cdot \frac1{2^k\ln 2^k} =\sum\frac1{k\ln 2}$$ tan divergentes.