Perfecto poderes de los sucesivos lavados: siempre se Puede llegar a una diferencia constante?

Question

Estaba pensando, ¿qué pasa si usted toma una secuencia de cuadrados consecutivos, por ejemplo 1,4,9, 16. Tomando las diferencias de da otra secuencia, 7,5,3. Y tomando las diferencias entre esos números, se obtiene 2,2--una constante. A través de primarias de primer semestre álgebra, usted puede fácilmente comprobar que esto funciona sin importar donde se inicia la serie de los cuadrados. Si utiliza 9801, 10000, 10201, obtendrá el mismo resultado: después de la segunda ronda de la resta, usted va a terminar con un final diferencia constante de 2. Lo mismo funciona para los cubos con el final de la constante diferencia de 6, aunque una nueva ronda de la resta es necesario, a la vez que requieren un número más en la secuencia original. Del mismo modo como con las plazas, no es difícil demostrar que funcionará para cualquier secuencia de número natural cubos.

Mi pregunta es esta: ¿hay un principio más general en el trabajo aquí? Supongamos que tomar una serie secuencial de los naturales n, n+1, n+2, n+3,... , y elevarlas a cualquier positiva de poder integral p. Puede mostrarse que si me tomo las diferencias en repetidas ocasiones, procediendo como en el anterior, que me eventualmente llegar a una diferencia constante? Y si es así, ¿este principio tiene nada que ver con la "diferencia" motor de la computación?

Answer 1

Sí.

La primera diferencia de un polinomio de grado $d$ es un polinomio de grado $d-1$.

Por inducción, el $m$-th diferencia de un polinomio de grado $d$, al $m \le d$, es un polinomio de grado $d-m$.

Establecimiento $m = d$, el $d-th$ diferencia de un polinomio de grado $d$ es una constante, que es exactamente lo que has descubierto.

El próximo paso es una prueba.

Answer 2

Si usted comienza con la secuencia de $n$-th poderes, el $n$-th diferencias de todos los ser $n!$.

Para una función de $f$ definida en los enteros definir $(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)$. $\Delta$ es un operador lineal en tales funciones: usted puede fácilmente verificar que $\Delta\big(af(x)+bg(x)\big)=a\Delta f(x)+b\Delta g(x)$ para cualquiera de estas funciones $f$ $g$ y constantes $a$$b$.

Ahora supongamos que $\Delta^k(x^k)$ es la función constante $k!$ por cada $k<n$. Para cualquier función constante $f$ la diferencia de la función de $\Delta f$ es idéntica $0$, lo $\Delta\big((\Delta^k(x^k)\big)=\Delta(k!)=0$ por cada $k<n$, y de ello se sigue que $\Delta^m(x^k)=0$ siempre $k<n$$m>k$. En particular, $\Delta^{n-1}(x^k)=0$$k<n-1$. Por lo tanto,

$$\begin{align*} \Delta^n(x^n)&=\Delta^{n-1}\big((x+1)^n-x^n\big)\\ &=\Delta^{n-1}\left(\sum_{k=0}^n\binom{n}kx^k-x^n\right)\\ &=\Delta^{n-1}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}kx^k\right)\\ &=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}k\Delta^{n-1}(x^k)\\ &=\binom{n}{n-1}\Delta^{n-1}(x^{n-1})\\ &=n(n-1)!\\ &=n!\;, \end{align*}$$

y por inducción $\Delta^n(x^n)=n!$ todos los $n$. (Usted puede comprobar fácilmente la base paso de la inducción.)

Estos llamados adelante diferencias son un caso especial de diferencias divididas, después de que Babbage la Diferencia Motor fue llamado.

Answer 3

Usando el Teorema del Binomio, obtenemos $$ (n+1)^k-n^k=\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k}{j}n^j $$ De modo que la diferencia de dos mandatos consecutivos de $k^\text{th}$ poderes es una $k-1$ grado del polinomio con plomo coeficiente de $\binom{k}{k-1}=k$. Por lo tanto, la diferencia de un grado $k$ polinomio con plomo coeficiente de $c_k$ es un grado $k-1$ polinomio con un coeficiente de $kc_k$.

Repetir esto, tenemos que la $k^\text{th}$ repite diferencia de $k^\text{th}$ poderes (un grado $k$ polinomio con plomo coeficiente de $1$) se $k!$.