Las desigualdades, cuando se hace el cambio de signo aquí?

Question

Me he encontrado con un problema con las desigualdades. He estado buscando en los ejemplos proporcionados por dos sitios web que 'resolver' las desigualdades, sin embargo cuando trato de usar mi propio método, el muy sencillas de suma, resta, multiplicación, división', termino con el mal signo de la desigualdad.

Lo que he hecho es la siguiente:

$$\frac{x-3}{x+3} < 4$$ $$x-3 < 4(x+3)$$ $$x-3 < 4x+12$$ $$x < 4x+15$$ $$-3x < 15$$ $$3x > -15$$ $$x > -5$$

He adivinado que el problema está en algún lugar en las 2 primeras líneas, vergonzosamente, sin embargo estoy seguro de lo que estoy haciendo mal; el 'calculadoras que me están diciendo la respuesta es $x < -5$ o $x > -3$.

¿Qué estoy haciendo mal con mi solución, para obtener el $x > -5$ al revés? ¿Qué es este otro camino que puede tomar para encontrar la $x > -3$?

Sería preferible si no me tienen que empezar a utilizar la 'mesa' para probar todas las soluciones, pero si esa es la única manera, está bien.

Answer 1

El problema ocurre cuando se multiplican ambos lados por $(x+3)$, que puede ser un número negativo, en cuyo caso el inequalitites podría ser revertido.

Usted necesita para hacer frente a dos casos: x+3>0 y x+3<0.

Utilizar $x+3>0$ (o $x>-3$) para obtener $x>-5$, la combinación de ambos dará $x>-3$, que es parte de la respuesta correcta.

Ahora uso $x+3<0$ (o $x<-3$), cambiar la dirección de la desigualdad, mientras que la multiplicación de ambos lados, y obtener la otra dirección, $x<-5$. La combinación de $x<-3$ $x<-5$ da $x<-5$.

La mejor de las suertes.

Answer 2

Su error está en la segunda línea. Si $(x+3)$ es negativo, entonces usted necesita para cambiar la desigualdad que hay. Así que usted tiene que considerar dos casos: primero, cuando $(x+3)$ es positivo (es decir,$x \geq -3$) y al $(x+3)$ es negativo (es decir,$x \leq -3$). El resto de sus cálculos eran buenas

Answer 3

Al multiplicar ambos lados por $(x+3)$ si $x < -3$, este valor será negativo, y usted revertir la desigualdad.

El método correcto es multiplicar por $(x+3)^2$, lo que siempre es positivo, y luego resolver el resultante $$(x-3)(x+3) <4(x+3)^2$$como una desigualdad cuadrática.

Answer 4

Cuando se desea resolver estas desigualdades, la forma habitual es comprobar cómo se compara con cero. En el ejemplo, tendría $$ \frac{x-3}{x+3}-4<0$$ and thus $$\frac{-3x-15}{x+3}<0$$ Usted tendrá que usar la tabla como usted dijo, pero es la manera más segura de evitar errores.