Razones para la coherencia de las categorías bi/monoidales

Question

Aquí por condiciones de coherencia me refiero a aquellos axiomas impuestos a los asociadores y unidades que conceden que el groupoide generado por tales morfismos es un poset, es decir, cualesquiera dos morfismos paralelos en este groupoide son iguales. Esta condición implica que tales estructuras débiles son equivalentes (en un sentido adecuado) a las estrictas.

Dicho esto, ¿de dónde vienen estas condiciones? Hay alguna razón profunda, tal vez motivada por algunas solicitudes, para la cual se requieren estas condiciones?

Una posible respuesta sólo para las categorías monoidales es que estas condiciones hacen que el producto monoidal sea más similar al producto cartesiano (requiriendo que por cada dos $n$ -productos en la categoría bi-categoría/monoidal hay un isomorfismo único del groupoide generado por los asociadores y las unidades).

¿Hay algo similar que pueda decirse de las bi-categorías?

Gracias de antemano a todos los que respondan.

Edita : Después de leer el comentario de Zhen Lin y la respuesta de Berci me di cuenta de que esta pregunta necesita más especificaciones.

Soy consciente del hecho de que estos axiomas permiten probar el teorema de la coherencia, que dice exactamente que los grupúsculos generados por los asociadores y las unidades es un postulado (como se ha dicho anteriormente). Lo que realmente estoy buscando es la razón de la coherencia en absoluto. Como he dicho, también soy consciente de que la coherencia proporciona la equivalencia de las categorías bi-categorías/monoides a las estrictas, así que supongo que mi pregunta debería ser

¿Por qué necesitamos realmente que estas estructuras sean equivalentes a las estrictas?

Answer 1

El punto principal es que la composición de las flechas en las bicategorías (tensor de objetos en categorías monoidales) quiere ser asociativo por naturaleza pero es asociativo sólo hasta el isomorfismo. Sin embargo, realmente deberíamos hablar de composición múltiple como $$e \otimes f \otimes g \otimes h $$ en cierto sentido, sin paréntesis! Esto se puede precisar de más maneras. Y lo crucial para esto es el teorema de coherencia, si partimos de tensores binarios: tenemos que aplicar un único pasaje de cualquier $2$ forma entre paréntesis de una composición múltiple. Por ejemplo, en la definición de una semigrupo interno objeto $s$ uno escribiría la asociatividad como un cuadrado de desplazamiento con la flecha superior $(s \otimes s) \otimes s \overset { \mu\otimes s} \to s \otimes s$ y la flecha izquierda $s \otimes (s \otimes s) \overset {s \otimes\mu } \to s \otimes s$ pero $(s \otimes s) \otimes s$ y $s \otimes (s \otimes s)$ debe ser identificado a uno " $s \otimes s \otimes s$ ".

Si sólo requerimos que $(f \otimes g) \otimes h \cong f \otimes (g \otimes h)$ entonces podríamos tener muchas opciones para el pasaje $(s \otimes s) \otimes s \to s \otimes (s \otimes s)$ arriba, y no está claro entonces cómo se entendería exactamente un semigrupo interno en absoluto.

La otra cosa, es que en todo ejemplo viviente, ya que el tensor dado es siempre asociativo "en el fondo", en realidad siempre hay una elección canónica de estos isomorfismos de coherencia, y para esto el ejemplo prototipo está en la categoría monoidal $( \mathcal {Set}, \times )$ el pasaje $(A \times B) \times C \to A \times (B \times C)$ está dada por $ \langle \langle a,b \rangle ,c \rangle \mapsto \langle a, \langle b,c \rangle\rangle $ .

Estoy de acuerdo con el comentario de Zhen Lin de que "en cierto sentido, la verdadera definición de la categoría monoidal debería ser la imparcial". Básicamente presenta $n$ -tensores secundarios como concepto primitivo (el tensor se da como un $n$ -una operación de rutina para todos $n \in\Bbb N$ ), y los isomorfismos de coherencia son de la forma $$e_1 \otimes\ldots\otimes e_n \to e_1 \otimes ..(e_i \otimes..\otimes e_j).. \otimes e_n.$$

Esto se basa en la observación de que en los ejemplos vivientes los múltiples tensores están siempre presentes en la categoría monoidal dada, y que los isomorfismos de coherencia ordinaria factorizan canónicamente a través de ellos (por ejemplo, en el caso de los conjuntos el isomorfismo anterior es la composición de $(A \times B) \times C \longleftarrow A \times B \times C \longrightarrow A \times (B \times C) $ ).

En un entorno imparcial, el axioma de coherencia es un requisito de conmutación cuadrados finalmente, y básicamente sólo requiere que poner cualquier $2$ par de parnethesis en un $n$ -tensor de pliegues, no importa qué parnethesis se "despliega" primero, donde despliegue significa la aplicación del isomorfismo de coherencia dado. En este escenario axiomático el teorema de coherencia se convierte en una simple inducción.