¿Cómo se puede construir una topología de un sistema fundamental de vecindades ?
En "Teoría Elemental de las Funciones Analíticas de Una o Varias Variables Complejas", por Henri Cartan, parece que una topología está determinada únicamente en C(D), el espacio vectorial de complejo continuo de las funciones con valores en el conjunto abierto D, por un sistema fundamental de vecindades.
El sistema fundamental de vecindades de s se define como sigue:
Para cualquier par $(K,\epsilon)$ consiste en un subconjunto compacto $K \subset D$ y un número de $\epsilon > 0$, consideramos el subconjunto $V(K,\epsilon)$ C de C de(D) se define por
$$f \in V(K,\epsilon) \Leftrightarrow |f(x)|\leq \epsilon, \; x \in K. $$
Las vecindades de un punto f se define mediante la traducción de los barrios de o por f.
Entonces, La Proposición 3.Yo. de la siguiente manera
Proposición 3.Yo. C(D) ha hecho una topología (invariantes bajo la traducción) en el que los conjuntos de $V(K,\epsilon)$ forman un sistema fundamental de vecindades de o. Esta topología es única y puede ser definido por una distancia que es invariante bajo la traducción.
Prueba. La singularidad de la topología es obvio, porque sabemos que un sistema fundamental de vecindades de o, y ...
Sé que una topología puede ser construido mediante la especificación de todos los barrios de cada punto de x (por ejemplo Bourbaki "Elementos de Matemáticas: Topología General I. 1.2 de la Proposición 2"), pero no puedo entender cómo una topología se define a partir de un sistema fundamental de vecindades.
