Kaplansky vs definición común de la normal de extensión de campo

Question

Kaplanksy la definición de normal de extensión de campo va como sigue

Deje $K\subseteq E$ ser campos. $E$ es normal $K$ si por cualquier $\alpha\in E\setminus K$ existe $\psi\in \operatorname{Aut}_K(E)$ tal que $\psi(\alpha)\neq \alpha$.

Por $\operatorname{Aut}_K(E)$ me refiero al conjunto de automorfismos de a $E$ $K$- álgebra. Una definición más común de la normalidad es

Deje $K\subseteq E$ ser campos. $E$ es normal $K$ si irreductible $f\in K[X]$ que tiene algunas raíces en la $E$ se divide en $E$.

Esta última definición es equivalente a

1. $\operatorname{Hom}_K(E,C) = \operatorname{Aut}_K(E)$ donde $C$ algebraica de cierre de $E$.
2. Existe $F\subseteq K[X]$ tal que $E=K(R)$ donde $R$ es el conjunto de todas las raíces en $C$ de los polinomios en la $F$.

Mi pregunta es, se Kaplansky normalidad y común normalidad equivalente?

Answer 1

Estos no son equivalentes. Por ejemplo, supongamos $K=\mathbb{F}_p(t)$ y deje $E=K(t^{1/p})$. A continuación, $E$ es común a normal a través de $K$, pero no es Kaplansky-normal, ya que no hay automorfismos de a $E$ $K$ además de la identidad. Como alternativa, deje $K=\mathbb{C}$ y deje $E$ ser el campo de función de una curva de género $>1$$\mathbb{C}$. A continuación, $E$ tiene sólo un número finito de automorfismos $\mathbb{C}$, y por lo $E$ tiene dimensión finita sobre el campo fijo de todos los automorfismos. Desde $E$ tiene dimensión infinita sobre $\mathbb{C}$, el campo fijo es mayor que $\mathbb{C}$, lo $E$ no es Kaplansky-normal. Sin embargo, es común que los normales, ya que $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado, así que trivialmente cada polinomio sobre $\mathbb{C}$ se divide.

Lo cierto es que Kaplansky-normal implica comunes-normal, y lo contrario es cierto asumiendo $E$ es separable y algebraicas sobre $K$. En primer lugar, asumir $E$ es Kaplansky normal a través de $K$, vamos a $f$ ser cualquier polinomio sobre $K$ y deje $F\subseteq E$ ser el subcampo generado por $K$ y todas las raíces de $f$$E$. Cada automorphism de $E$ $K$ mapas de $F$ a sí mismo, por lo $F$ es también Kaplansky-normal, y es finito $K$. Si $G=\operatorname{Aut}(F/K)$,$K=F^G$, lo que implica $F$ es de Galois sobre $K$ por un teorema de Artin. Desde $f$ fue arbitraria, esto implica $E$ es común a normal a través de $K$.

Por el contrario supongamos $E$ es separable, algebraicas, común y normal a través de $K$. A continuación, $E$ es de Galois sobre $K$, y la teoría de Galois dice que el campo fijo de la automorphism grupo de $E$ $K$ es sólo $K$. Que significa exactamente eso $E$ es Kaplansky normal a través de $K$.