Mandelbrot bombilla contables?

Question

Son el conjunto de Mandelbrot del bulbo del countably infinito?

Mi hija me preguntó, después me señaló que algunos de los conjuntos de Julia son un Cantor de polvo. Por un punto no en el conjunto de Mandelbrot, el correspondiente conjunto de Julia es un Cantor de polvo con un uncountably número infinito de desconectado puntos. También hay un número infinito de bebé de Mandelbrot, cada uno con un número infinito de bombillas. Se puede demostrar que el conjunto de la bombilla es countably infinito?

Creo que la respuesta es que cada bombilla puede estar asociada con un externo ray, y parece que la conocida aterrizaje rayos están todos asociados con los números racionales; el conjunto de los números racionales es countably infinito. Tal vez si un aterrizaje ray es un número real, estaría asociada con un infinitamente pequeño bebé Mandelbrot, que ya no es un bebé Mandelbrot porque tiene cero de la zona? Pero otra posible respuesta también puede ser debido a que las bombillas de área>0, y tal vez usted no puede tener una uncountably número infinito de las cosas positivas de la zona.

Answer 1

No sé si usted tiene una definición precisa de "la bombilla", pero es razonable esperar que cualquier bombilla debe contener una lo suficientemente pequeña pelota. Cualquier bola contiene un punto racional de coordenadas, ya que estos últimos son más densos. Suponiendo que las bombillas son distintos, esto nos permite definir una inyección de bombillas de puntos racionales, que son contables, por lo tanto no puede ser una cantidad no numerable de bombillas.