¿Cómo se debe encontrar juegos completos de invariantes para los vectores cuyos elementos pueden ser permutados por un grupo determinado?

Question

Descargo De Responsabilidad / Introducción

Yo soy un físico por la formación que no ha tomado cursos en la teoría de invariantes. Yo espero que mi descripción de mi pregunta que no se mal uso de la terminología en la `teoría de invariantes', pero en el caso de que no me han proporcionado un ejemplo concreto en menos de matemática de la terminología para tratar de dejar en claro lo que en realidad significaba!

Intento de afirmación matemática:

La notación

Supongamos que tengo un $n$-dimensional espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ que podrá (a su preferencia) será llevado a ser los reales o los números complejos. También tengo un grupo de $G$ que permutes (algunas de) las componentes de los vectores $\vec x$ en $V$. En todos los casos yo soy interesado en, $G$ es un buen subgrupo de la $S_n$, es decir que no incluyen todas las posibles $(n!)$ permutaciones de las $n$ elementos de cada una de las $\vec x$. Vamos a suponer que $G$ es generado por $m$ generadores $g_1,\ldots,g_m\in G$.

Tenemos nueva definir una relación de equivalencia $\sim$ en el espacio vectorial por: $$(\vec x\sim \vec y) \Leftrightarrow (\exists g\in G \ \text{s.t.}\ \vec x = g\vec y). $$

El problema en sí

Dado cualquier concretamente especificados $G$, $n$, $F$ e $V$ como se definió anteriormente, quiero saber cómo puedo construir un conjunto de $n$ funciones (vamos a llamarlos $f_1,f_2,\ldots, f_n$) que cada mapa $V\rightarrow F$ de tal manera que: $$(\ f_i(\vec x) = f_i(\vec y) \ \forall \ i\in\{1,2,\ldots,n\})\Leftrightarrow(\vec x \sim \vec y).$$

[Creo que esto podría llamarse "indicador de funciones" o "conjuntos completos de invariantes", en el que se indican inequívocamente que la equivalencia de cualquier clase $\vec x$ pertenece. Aunque tal vez estoy mal uso de esos términos.]

Un ejemplo muy sencillo (Ejemplo 1)

Supongamos $n=3$, y un elemento arbitrario de $V$ es denotado $\vec x=(a,b,p)$. Suponga que $G$ es generado por un único generador, $g$ que los intercambios en el primer y segundo elementos de $x$ ($a\leftrightarrow b$). I. e. $$g=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$ (Note that in more complicated examples $G$ podría tener más de un generador!)

En el caso anterior, las tres funciones: $$ f_1(\vec x) = a+b \\ f_2(\vec x) = ab \\ f_3(\vec x) = p $$ es un conjunto de funciones $f_i$ que satisface mis necesidades, pero en contraste $$ f_1(\vec x) = a+b \\ f_2(\vec x) = a-b \\ f_3(\vec x) = p $$ es una mala conjunto de funciones que no cumple con el requisito, y $$ f_1(\vec x) = a+b+p \\ f_2(\vec x) = ab+ab + ap+bp \\ f_3(\vec x) = abp $$ no funciona bien.

Un ejemplo más complejo (Ejemplo 2)

Supongamos $n=6$, y un elemento arbitrario de $V$ es denotado $\vec x=(a,b,p,q,x,y)$. Suponga que $G$ es generado por un único generador, $g$ que los intercambios en el primer y segundo elementos de $x$ ($a\leftrightarrow b$), al mismo tiempo, como en el intercambio de la tercera y cuarta elementos ($p\leftrightarrow q$). I. e. $$g=\left( \begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$ (Note that in more complicated examples $G$ podría tener más de un generador!)

En el caso anterior, las seis funciones: $$ f_1(\vec x) = p+q \\ f_2(\vec x) = a+b \\ f_3(\vec x) = pq-ab \\ f_4(\vec x) = bp+aq \\ f_5(\vec x) = x \\ f_6(\vec x) = y $$ es un conjunto de funciones $f_i$ que satisface mis necesidades.

Un ejemplo que muestra por qué yo no estoy interesado en el caso de que $G=S_n$

Si $G$ se $S_6$, el grupo simétrico de seis objetos que tienen todos los posibles $6!$ elementos, a continuación, simétrica polinomios (trivialmente) ser un conjunto válido de $f_i$: $$ f_1 = a+b+p+q+x+y \\ f_2 = ab+ab + ap+aq+ax+ay+bp+bq+bx+por+pq+px+py+qx+qy+xy \\ f_3 = abp+abq+\cdots+qxy \\ f_4 = abpq+\cdots+pqxy \\ f_5 = abpqx+abpqy+abpxy+abqxy+apqxy+bpqxy\\ f_6 = abpqxy. $$ El de arriba juegos son fáciles de construir, pero no responden a la pregunta cuando se $G$ no $S_n$ (ver ejemplos anteriores).

Notas

Las limitaciones de mi propio método de búsqueda de funciones $f_i$

Alas: la forma (que no he descrito) que me generaron un conjunto válido de funciones para el Ejemplo 2 no me permite trabajar con cualquier $G$ que contiene un elemento que contiene tres o más transposiciones. No puedo, por tanto, en la actualidad escribe un conjunto de funciones que se adapte a mis necesidades si el generador de $g$ anterior es sustituido por, digamos $$g'=\left( \begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right).$$ I can't believe that there is no way of answering such marginally more complicated cases, though, so I assume that any invariant-theory professional will have an armoury of tools much better than mine, and can point me to books and or resources that will tell me how to turn any $G$ that's a permutation group into a set of functions $f_i$ que satisfacer mis necesidades.

Answer 1

Creo que voy a tener una respuesta para el caso de que $F$ es los reales. En primer lugar, construir un polinomio $P(\vec X)$ que es una función de un punto arbitrario $\vec X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)\in V$ como sigue $$ P(\vec X) = | \vec X - g_1 \vec x |^2 | \vec X - g_2 \vec x |^2 | \vec X - g_3 \vec x |^2 \cdots | \vec X - g_m \vec x |^2 $$ in which $|\vec x|^2$ represents a Euclidean norm. This $P$ has roots at $\vec x$ and all the places to which $\vec x$ can be moved by the action of the group $G$. Because of the way we have constructed $P$, if we were to multiply out all its terms we would find that the collected coefficients of any given term (e.g. the collected coefficients of the $X_1^4 X_2^2 X_5$ term) would be invariant under the action of $G$. The set of all of these coefficients entirely specifies the polynomial, and the polynomial is entirely specified by its roots and its form, so these coefficients are almost the set of functions $f_i$ requested. The only problem is that there are (in general) too many of them. Among the big list, though, exactly $n$ independent ones must exist, since the coefficients capture the same information as exists in the specification of the $n$ roots of the polynomial. A sufficient set of $n$ independientes coeficientes pueden ser extraídos por el siguiente algoritmo:

(1) crear un conjunto vacío $K$.

(2) poner todas las polinomio con coeficientes en un conjunto de $C$.

(3) seleccione un elemento $c\in C$ y eliminar ese elemento de $C$ permanentemente.

(4) crear un conjunto $T=K \cup \{c\}$.

(5) construir una base de Groebner para los polinomios en la $T$. Si esta base tiene una longitud igual al número de elementos en $T$, a continuación, reemplace $K$ con $T$, de lo contrario, deje $K$ inalterado.

(6) Si $K$ tiene menos de $n$ elementos, vaya al paso (3).

(7) Si este paso se alcanza, $K$ contiene un conjunto de $n$ funciones independientes $f_i$ que (espero) con la respuesta a mi pregunta.

Al menos, eso espero.

He probado esto en un par de ejemplos concretos que han trabajado todos, aunque eso no prueba mucho.