Composición de apriete de los operadores?

Question

Yo me pregunto si no existe una composición de ley para la contracción de la operación ? Supongo que para geométrica de razón, ya que son (generalizada, y la fase es molesto, por supuesto) hiperbólica rotaciones de la aniquilación $a$ y la creación de $a^{\dagger}$ operadores de algunos bosonic modos.

I definir el grado de compresión del operador como $$ S\left(\zeta\right) = e^{\Sigma} \;\; ; \;\; \Sigma = \frac{\zeta^{\ast} aa -\zeta a^{\dagger}a^{\dagger}}{2}$$ para cualquier complejo parámetro $\zeta$.

Me gustaría saber la regla de $S\left(\zeta_{1}\right)\cdot S\left(\zeta_{2}\right)$ ?

Por ejemplo, sabemos que $$D\left(\alpha\right)\cdot D\left(\beta\right)=D\left(\alpha + \beta\right) e^{\left(\alpha \beta^{\ast}-\beta\alpha^{\ast} \right)/2}$$ para la coherente / desplazamiento operador $D\left(\alpha\right)=e^{\Delta}$$\Delta = \alpha^{\ast} a - \alpha a^{\dagger}$.

Una referencia para $S\left(\zeta_{1}\right)\cdot S\left(\zeta_{2}\right)$ sería suficiente.

Answer 1

I) OP está pidiendo la composición de la fórmula de los llamados único modo de exprimir a los operadores, ver eq. (8) a continuación. No vamos aquí a demostrar que la composición de la fórmula (8), pero sólo dan parcial sugerencias y referencias.

La clave es darse cuenta de que uno puede identificar

$$\tag{1} \sigma_{+}~:=~\frac{1}{2} a^{\dagger}a^{\dagger}, \qquad \sigma_{-}~:=~\frac{1}{2} aa, \qquad\sigma_{3}~:=~a^{\dagger}a+\frac{1}{2} , $$

con los generadores de una $su(1,1)\cong so(2,1; \mathbb{R})\cong sl(2,\mathbb{R})$ álgebra de la Mentira

$$\tag{2} [\sigma_{+},\sigma_{-}]~=~\sigma_{3} , \qquad [\sigma_{3},\sigma_{\pm}]~=~\pm2 \sigma_{\pm}. $$

Aquí el único modo de creación y aniquilación de los operadores de satisfacer

$$\tag{3} [a,a^{\dagger}]~=~1.$$

La contracción del operador

$$ \tag{4} S(z)~:=~\exp\left[-z\sigma_{+} + z^{*} \sigma_{-}\right], \qquad z~\in~ \mathbb{C},$$

puede ser escrito en la normal de forma ordenada

$$\tag{5}S(z)~=~\exp\left[-t\sigma_{+}\right]\exp\left[\ln(1+|t|^2)\frac{\sigma_{3}}{2}\right]\exp\left[t^{*}\sigma_{-}\right],$$

cf. por ejemplo, Ref. 1 eq. (1.207), o Ref. 2 ecualizadores. (2.16) y (3.4). Aquí

$$\tag{6} z~=~re^{i\theta}~\in~ \mathbb{C}, \qquad r~\geq~ 0, \qquad\theta~\in~ \mathbb{R},$$

y

$$\tag{7} t~:=~e^{i\theta}\tanh(r)~\in~ \mathbb{C}.$$

La composición de la fórmula de lee

$$\tag{8} S(z_1) S(z_2)~=~S(z_3)\exp\left[ \ln\frac{1+t_1 t_2^{*}}{1+t_1^{*}t_2} \frac{\sigma_{3}}{2}\right], \qquad t_3~:=~\frac{t_1+t_2}{1+t_1^{*}t_2}, $$

cf. por ejemplo, Ref. 2 Ejercicio 3.8.

II) La contracción de los operadores (4) pueden ser vistos como elementos de $SL(2,\mathbb{C})$. Podemos utilizar el mapa exponencial

$$\tag{9}\exp: sl(2,\mathbb{C}) ~\longrightarrow~ SL(2,\mathbb{C}) $$

para generalizar a los operadores de la forma

$$\tag{10} R(\vec{\alpha}) ~:=~\exp\left[ \vec{\alpha} \cdot \vec{\sigma} \right]~=~\exp\left[ \alpha^{+} \sigma_{+}+\alpha^{3} \sigma_{3}+ \alpha^{-} \sigma_{-}\right],$$ $$ \vec{\alpha}~=~(\alpha^{+},\alpha^{3}, \alpha^{-})\in \mathbb{C}^3. $$

La composición de la fórmula (8) generaliza a los Baker-Campbell-Hausdorff (BCH) fórmula

$$\tag{11} \vec{\gamma}~=~ \vec{f}(\vec{\alpha},\vec{\beta}), $$

donde

$$\tag{12} R(\vec{\alpha}) R(\vec{\beta}) ~=~R(\vec{\gamma}). $$

[Ver también este Phys.SE post para el correspondiente BCH fórmula para$SU(2)$$SO(3;\mathbb{R})$.] Sin embargo, nótese que el mapa exponencial (9) es no surjective

$$\etiqueta{13}{\rm Im}(\exp) ~=~\left\{M\SL(2,\mathbb{C}) \mid {\rm Tr}(M)\neq -2\right\} ~\cup~ \left\{-{\bf 1}\right\} \subsetneq SL(2,\mathbb{C}), $$

lo que significa que el BCH mapa (12) tiene singularidades.

Referencias:

1. P. Kok y B. W. Lovett, Introducción a la Óptica Cuántica de Procesamiento de la Información, 2010.

2. G. S. Agarwal, Óptica Cuántica, 2012. [Nota de que la Ref. 2 tiene el signo opuesto de la convención de $z\to -z$ en eq. (4) véase la Ref. 2. nca. (2.14) y (3.2).]

3. R. D. Truax, Baker-Campbell-Hausdorff relaciones y unitarity de $SU(2)$ $SU(1,1)$ apretón de los operadores, Phys. Apo. D 31 (1985) De 1988.

Answer 2

Usted no va a tener fácilmente un cerrado fórmula general, porque, en primer lugar, el colector de $aa$$a^+a^+$, lo $4(a^+a + 1/2)$ no conmuta con $aa$$a^+a^+$, y en segundo lugar,lo que es peor, ya que lo mismo ocurre para toda la orden de los conmutadores de la Baker-Campbell-Hausdorff relaciones (ver más precisamente en el Capítulo "Zassenhaus fórmula")

Funciona con el $D\left(\alpha\right)$ debido a que el colector de $a$$a^+$$1$, así que, por supuesto, usted tiene $[a, 1] = [a^+, 1] = 0$, y la serie infinita de términos comenzar una corta lista limitada (con $X \sim~ a, Y ~ \sim a^+$ ): $$e^X e^Y = e^{X + Y}e^{\frac{1}{2}[X,Y]}$$

Tal vez, usted podría calcular primero el valor de su operador en el estado fundamental, que es :

$$ <0|S\left(\zeta_{1}\right)\cdot S\left(\zeta_{2}\right)|0>$$