Demostrar $\prod_{i=1}^{n-1} \sin(i\pi/n) = 2^{1-n} n$ sin funciones complejas.

Question

Tenga en cuenta que $i$ aquí se refiere a la indexación de la variable, no $\sqrt{-1}$.

$$\prod_{i=1}^{n-1} \sin\left(\frac{i \pi}{n}\right) = 2^{1-n} n$$ Esta fórmula fue utilizada aquí para dar un "elemental" prueba de producto de las diagonales = N. Mathworld es el único lugar donde puedo encontrar la fórmula y que el sitio web de la cites una comunicación personal con 'T. Drane'

He tratado de probar por mi cuenta, pero este es el único progreso que he hecho.

Dejando $n=2k+1$, que puedo mostrar que

$$\prod_{i=1}^{2k} \sin\left(\frac{i \pi}{2k+1}\right) = \prod_{i=1}^{k} \cos^2\left(\frac{(2i-1) \pi}{4k+2}\right)$$

He utilizado el seno de producto fórmula $\quad\sin(a)\sin(b)=\dfrac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}\quad$ a la par de los primeros/últimos términos, etc. A continuación, utiliza el coseno del ángulo doble fórmula $\quad \cos(2a)+1 = 2\cos^2(a)\quad$ en el producto resultante.

No sé a dónde ir desde aquí y yo estaba investigando el caso especial de la extraña $n$. Alguna idea sobre qué hacer a continuación? Enfoque más simple para que también se aplique a $n=2k$?

PS: sería preferible si la prueba evitarse funciones complejas con el fin de completar la respuesta a las diagonales pregunta de referencia anterior.

Answer 1

Gracias a Lahtonen sugerencia del uso de Chebyshev de polinomios, yo era capaz de responder a la pregunta. He utilizado este documento como una referencia en las propiedades de los polinomios.

Voy a probar a $\frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin(\theta)} = U_n(\cos(\theta))$ el uso de la inducción (el papel de los números complejos para demostrarlo).

$$ \frac{\sin(\theta)}{\sin(\theta)} = 1 = U_0(\cos(\theta)), \qquad \frac{\sin(2\theta)}{\sin(\theta)} = 2\cos(\theta) = U_1(\cos(\theta)), \\ {~}\\ {~}\\ \begin{aligned} \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin(\theta)} &= 2\cos(\theta)\frac{\sin(n\theta)}{\sin(\theta)} - \frac{\sin((n-1)\theta}{\sin(\theta)} \\ &= 2\cos(\theta)U_{n-1}(\cos(\theta))-U_{n-2}(\cos(\theta)) \\ &= U_n(\cos(\theta)) \end{aligned}$$

El uso de Identidades 7/9 en los enlaces de papel, se supone que $$\sin((2m+1)\theta) = (-1)^mT_{2m+1}(\sin(\theta))$$

Desde $T_{2m+1}$ es una extraña polinomio, puedo factor como tal: $$\sin((2m+1)\theta) = \sin(\theta)R_{2m}(\sin(\theta))$$

donde $R_{2m}$ es incluso un polinomio de grado $2m$ con las siguientes propiedades:

• único raíces se $u_k = \sin\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right)$$k =\pm 1, \ldots, \pm m$.
• término constante es $2m+1$
• coeficiente inicial es $(-1)^m 2^{2m}$

Por lo tanto, $$\prod_{k=1}^m u_k u_{-k} = (-1)^m \frac{2m+1}{2^{2m}}$$

Por las propiedades de simetría de la función seno, $$\prod_{k=1}^{2m} \sin\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right) = \frac{2m+1}{2^{2m}} \qquad \square$$

Esto demuestra la identidad de al $n$ es un entero impar. Voy a introducir una abreviatura para simplificar: vamos a $F(n) = \prod_{k=1}^{n-1} \sin(k\pi/n)$. Hemos demostrado que $F(2m+1) = 2^{-2m}(2m+1)$ También tenga en cuenta que $$F(2m+1) = \prod_{k=1}^{m} \sin^2\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right) = \prod_{k=1}^{m} \cos^2\left(\frac{(2m+1-2k)\pi}{4m+2}\right)$$ Esto será útil pronto. Ahora, vamos a $n=2m$. $$F(2m) = \prod_{k=1}^{m-1} \sin^2\left(\frac{k\pi}{2m}\right) = \prod_{k=1}^{m-1} \cos^2\left(\frac{(m-k)\pi}{2m}\right) = \prod_{k=1}^{m-1} \cos^2\left(\frac{k\pi}{2m}\right)$$

Voy a tener que dividir esto en dos de los casos de nuevo:$n=4m$$n=4m+2$.

$$\begin{aligned} F(4m+2) &= \prod_{k=1}^{2m} \cos^2\left(\frac{k\pi}{4m+2}\right) \\ &= \prod_{k=1}^m \left(\cos\left(\frac{k\pi}{4m+2}\right)\cos^2\left(\frac{(2m+1-k)\pi}{4m+2}\right) \right)^2 \\ &= \prod_{k=1}^m \frac{1}{4} \cos^2 \left(\frac{(2m+1-2k)\pi}{4m+2}\right) \\ &= \frac{1}{2^{2m}}F(2m+1) \\ &= \frac{1}{2^{2m}}\cdot\frac{2m+1}{2^{2m}} &\square \end{aligned}$$

y por último, suponga que $F(n)=\frac{n}{2^{n-1}}$ todos los $n<4m$,

$$\begin{aligned} F(4m) &= \prod_{k=1}^{2m-1} \cos^2\left(\frac{k\pi}{4m}\right) \\ &= \frac{1}{2}\prod_{k=1}^{m-1} \left(\cos\left(\frac{k\pi}{4m}\right)\cos\left(\frac{(2m-k)\pi}{4m}\right) \right)^2 \\ &= \frac{1}{2}\prod_{k=1}^{m-1} \frac{1}{4}\cos^2\left(\frac{(m-k)\pi}{2m}\right) \\ &= \frac{1}{2^{2m-1}} F(2m) \\ &= \frac{1}{2^{2m-1}}\cdot \frac{2m}{2^{2m-1}} & \blacksquare \end{aligned}$$