Delimitada derivados implica delimitada la función?

Question

Por el siguiente teorema, que es suficiente para mostrar que $\{F_n: n\in\mathbb N\}$ es equicontinuous y delimitada:

Si $f_k$ es una secuencia de un equicontinuous y pointwise delimitada conjunto de mapas a partir de un espacio métrico compacto a$\mathbb R^m$, $f_k$ tiene un uniformemente convergente larga.

Ya he demostrado que el juego es equicontinuous. Ahora, ¿cómo puedo demostrar que $\{F_n: n\in\mathbb N\}$ es también limitada? (El teorema fundamental del cálculo garantiza que cada una de las $F_n$ es limitada.)

¿Mi problema de reducir a la búsqueda de una $M'$ independiente de $n$ $x$ tal que $|F_n(x)|\leq M'$, dado que el $|F_n'(x)|\leq M$ donde $M$ es una constante?

P. S. yo queria trate de probar que $F_n$ es convergente, pero Kahen ha señalado que $F_n$ no necesariamente convergen.

Answer 1

Sugerencia: Usted quiere apelar a Arzelà–Ascoli para mostrar que $\{F_n \in C[a,b] : n \in \mathbb N\}$ es precompact en $C[a,b]$. Esto le proveerá con su deseado convergente larga.

Tenga en cuenta que el $F_n$ no necesariamente convergen. Considere la posibilidad de

$\displaystyle\qquad f_n(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } n \text{ is even} \cr 1 & \text{if } n \text{ is odd} \end{casos} $

Answer 2

A menos que me estoy perdiendo algo, luego de un obligado para todos los $F_n$ es como sigue. Donde $M$ es el límite superior de cada $f_n$:

$$F_n(x)=\int^x_af_n(t)dt\leq\int^x_aMdt=\frac{M}{2}x^2\leq\frac{M}{2}(b-a)^2$$

En cuenta que el obligado no depende de $n$.