¿Hay una manera fácil de probar $\prod_{k=1}^\infty \cos(x/2^k) = \sin(x)/x$?

Question

Me acaba de responder a esta pregunta

la distribución de la infinita suma de $\sum (2x_n -1)/2^n$

mediante el uso de la fórmula en el título, que me levantó de un azar de la fórmula en la hoja de internet. Mi pregunta es, ¿cómo hacer que se derivan de esto? Nunca he aprendido a suma infinita de productos como este.

Creo que hay también una fórmula para $\cosh$ (por Osborn en la regla). Una justificación de por qué esto se desprende de la $\cos$ caso también sería agradable.

Answer 1

Sugerencia: $$ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $$ así $$ \cos \left(\frac{x}{2^k}\right) = \frac{\sin\left(\frac{x}{2^k}\right)}{2\sin\left(\frac{x}{2^{k+1}}\right)} $$

Answer 2

Utilizar la fórmula de $\displaystyle \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ y $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ $n$ veces para $\displaystyle \frac{(e^{\frac{x}{2^n}}-e^{-\frac{x}{2^n}})}{\frac{x}{2^n}}\Pi_{k=1}^{n} \frac{e^{\frac{x}{2^k}}+e^{-\frac{x}{2^k}}}{2}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{x}$

Debido a $\displaystyle \lim_{n \to\infty}\frac{(e^{\frac{x}{2^n}}-e^{-\frac{x}{2^n}})}{\frac{x}{2^n}}=2$ tenemos:

$\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{x}\lim_{n \to \infty}\frac{(e^{\frac{x}{2^n}}-e^{-\frac{x}{2^n}})}{\frac{x}{2^n}}\Pi_{k=1}^{n} \frac{e^{\frac{x}{2^k}}+e^{-\frac{x}{2^k}}}{2}=\lim_{n \to \infty}\frac{(e^{\frac{x}{2^n}}-e^{-\frac{x}{2^n}})}{\frac{x}{2^n}} \Pi_{k=1}^{\infty}\cos \frac{x}{2^k}=2\Pi_{k=1}^{\infty}\cos \frac{x}{2^k}$

Finalmente, $\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2x}=\frac{\sin x}{x}$

Answer 3

Vamos

$P_n=\prod\limits_{k=1}^n\cos(\frac{x}{2^{k}})$

Entonces tenemos:

$\sin(\frac{x}{2^{n}})P_n=\cos(\frac{x}{2}) \dots \cos(\frac{x}{2^{n}})\sin(\frac{x}{2^{n}})=\frac{1}{2}\cos(\frac{x}{2}) \dots \sin(\frac{x}{2^{n-1}})$

=$\dots$=$\frac{\sin(x)}{2^{n}}$

mediante la aplicación de doble ángulo fórmula para $\sin(2x)$ repetidamente.

Entonces

$P_n=\frac{\sin(x)}{2^{n}}\frac{1}{\sin(\frac{x}{2^{n}})}$

Ahora como $n \rightarrow \infty$ $\sin(\frac{x}{2^{n}}) \rightarrow \frac{x}{2^{n}}$

y obtener el resultado requerido. Puede producir riguroso de los argumentos sobre el límite de la parte, si usted quiere, pero esto es esencialmente cómo se calcula la infinita producto.