La comprobación de si el campo vectorial es conservativo

Question

Si puedo encontrar una función potencial para un campo vectorial, eso no significa necesariamente que el campo vectorial es conservativo?

Por ejemplo, si yo tuviera un campo de vectores que no está definido en el eje x y soy capaz de encontrar una función potencial que se define por todas partes, pero el eje de las x, es el campo conservador?

Sé que esto es cierto cuando el vector de campo no está definido en un número finito de puntos, pero no demasiado seguro de que cuando hay infinitamente muchos puntos indefinidos.

Edit: Otra pregunta que tengo es; Supongamos que un campo vectorial tiene divergencia $= 0 $ todas partes, pero no definidos en el origen y estoy tratando de encontrar el flujo hacia el exterior. utilizar el teorema de la divergencia que tengo que hacer $$\int\int\int_{V-\{0\}} \text{div} \textbf F \space \text{d}V = \int\int_{\partial V} (\textbf {F $\cdot$ n})\text{d}S + \int\int_{B\epsilon} (\textbf {F $\cdot$ n})\text{d}S = 0 $$ $$\int\int_{\partial V} (\textbf {F $\cdot$ n})\text{d}S = -\int\int_{B\epsilon} (\textbf {F $\cdot$ n})\text{d}S$$

Donde $B\epsilon$ es el balón con el radio de $\epsilon$ alrededor del origen

Cuando voy a resolver para $\int\int_{\partial V} (\textbf {F $\cdot$ n})\text{d}S$ voy a obtener una respuesta dependiendo de epsilon(si no se cancela). Si epsilon sigue, voy a tomar el límite cuando epsilon va a cero, o puedo mantener mi respuesta con respecto a epsilon?

Answer 1

(1) Primera pregunta: La respuesta es sí, siempre y cuando el potencial de campo es globalmente bien definido. Para ver esto, tomar cualquier (compacto) de la curva de $C$ de los puntos de $A$ $B$en el dominio del campo de vectores. Podemos dividir esta curva en un número finito de segmentos de $C_1, C_2, \dots, C_n$, cada una está contenida en un abierto a la pelota en el dominio. Decir $C_i$ une los puntos de $P_i$$P_{i+1}$. Es decir,$P_1 = A$$P_{n+1} = B$. Si la función potencial es $f$, entonces la integral de línea del campo vectorial sobre$C_i$$f(P_{i+1}) - f(P_{i})$. La adición de todos estos integrales juntos, la cancelación nos da $f(P_{n+1}) - f(P_1)$,$f(B)-f(A)$. Es decir, la integral sobre la $C$ sólo depende del valor de la función potencial en los extremos de $C$.

Globalmente bien definido que es lo realmente importante. Por ejemplo, considere el campo vectorial $\vec{F}(x,y,z) = \frac{-y}{x^2+y^2} \vec{i} + \frac{x}{x^2+y^2} \vec{j}$. Este es un campo de vectores que gira alrededor de la $z$-eje. (En particular, no está definido en el $z$-eje). Un local de cálculo de la función potencial de los rendimientos

$$f(x,y,z) = \text{angle of rotation from positive $x$-axis}.$$ Esta función no está globalmente bien definido desde el ángulo depende de la cantidad de veces que el viento alrededor de la $z$-eje. Así, el vector de campo no es conservativo. (De hecho, la integral de línea alrededor de una curva mide el cambio total en el ángulo alrededor de la $z$-eje).

(2) Técnicamente, usted debe escribir $$\iiint_{V-B_\epsilon} \text{div $\vec{F}$}\: dV = \iint_{\partial V} \left(\vec{F} \cdot \vec{n} \right) \: dS + \iint_{\partial B_\epsilon} \left(\vec{F} \cdot \vec{n} \right) \: dS= 0.$$ Desde la divergencia es 0, la segunda igualdad se cumple siempre (independiente de $\epsilon$). Así que, no importa lo que (positivo) de radio que usted toma. Es decir, $$\iint_{\partial V} \left(\vec{F} \cdot \vec{n} \right) \: dS = - \iint_{\partial B_\epsilon} \left(\vec{F} \cdot \vec{n} \right) \: dS$$ en realidad no depende de la $\epsilon$. En otras palabras, el lado izquierdo es independiente de $\epsilon$, por lo que el lado derecho también debe ser independiente de $\epsilon$.