Un valor principal de Cauchy de la integral, utilizando el contorno de integración y Plemjel.

Question

Me encontré con la siguiente integral $$lim_{\epsilon->0+}\int_\mathbb{R}\frac{e^{-ax^2+ibx}}{x+i\epsilon}dx$ $ , con a,b>0. El uso de Plemjel la fórmula me llevó a la evaluación de $$P.V\int_\mathbb{R}e^{ibx}\frac{e^{-ax^2}}{x}dx$$ I thought then of using a closed contour in the complex upper half plane to evaluate this integral. I would be thrilled if $e^{-az^2}/z$ would vanish on the infinite semi circle $\theta\[0,\pi]$, desde luego que yo pueda aplicar de Jordania lema en esta función y recuperar mi indebido integral con sólo el residuo de alrededor de 0... Después de conspirar para conseguir una sensación, parece que se desvanecen por un "infinito" círculo de la mitad... Sin embargo, es sólo una parcela, no resulta nada... me gustaría puntero sobre cómo dar una prueba definitiva de que, puesto que yo realmente no quiero perder otro 3 páginas...

Una cosa más: desde la integral no "parezca" una F. T, hay una manera más fácil para llegar a un resultado final que el contorno de la integral de camino que elegí ?...si es de hecho tan simple como la búsqueda de la FT de $e^{-ax^2}/x$ a que, como parece que es igual a $i\pi \text{Erf}\frac{b}{2\sqrt a}$, entonces ¿cómo podría recuperar el uso de las herramientas complejas ?

Gracias

Answer 1

\begin{align} \lim_{\epsilon \to 0^{+}}\int_{\mathbb R} {{\rm e}^{-ax^{2}\ +\ {\rm i}bx} \over x + {\rm i}\epsilon}\,{\rm d}x &= \int_{-\infty}^{\infty} {{\rm e}^{-ax^{2}\ +\ {\rm i}bx} \over x + {\rm i}0^{+}}\,{\rm d}x = \int_{-\infty}^{\infty} {\rm e}^{-ax^{2}\ +\ {\rm i}bx} \left[{\cal P}{1 \over x} - {\rm i}\pi\delta\left(x\right)\right]\,{\rm d}x \\[3mm]&= {\cal P}\int_{-\infty}^{\infty} {{\rm e}^{-ax^{2}\ +\ {\rm i}bx} \over x}\,{\rm d}x - {\rm i}\pi \\ \begin{align} &{\cal P}\int_{-\infty}^{\infty} {{\rm e}^{-ax^{2}\ +\ {\rm i}bx} \over x}\,{\rm d}x = {\rm i}\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-ax^{2}}\,{\sin\left(bx\right) \over x}\,{\rm d}x = {\rm i\,sgn}\left(b\right)\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-ax^{2}/b^{2}}\,{\sin\left(bx\right) \over x}\,{\rm d}x \\[3mm]&= {\rm i\,sgn}\left(b\right)\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-ax^{2}/b^{2}}\, {1 \over 2}\int_{-1}^{1}{\rm e}^{{\rm i}kx}\,{\rm d}k\,\,{\rm d}x = {1 \over 2}{\rm i\,sgn}\left(b\right)\int_{-1}^{1}{\rm d}k\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-ax^{2}/b^{2}\ +\ {\rm i}kx}\,{\rm d}x \\[3mm]&= {1 \over 2}{\rm i\,sgn}\left(b\right)\int_{-1}^{1}{\rm d}k\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\,{b^{2} \over 4a}\,k^{2} - {a \over b^{2}}\,\left[x - {\rm i}\,{b^{2}k \over 2a}\right]^{2}\right) \,{\rm d}x \\[3mm]&= {1 \over 2}{\rm i\,sgn}\left(b\right)\int_{-1}^{1}{\rm d}k\, {\rm e}^{-b^{2}k^{2}/4a}\ \overbrace{\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-ax^{2}/b^{2}}\,{\rm d}x} ^{\left\vert b\right\vert\,\sqrt{\vphantom{\Large A}\pi/a}} = {1 \over 2}\,{\rm i}b\,\sqrt{{\pi \over a}\,}2\int_{0}^{1}{\rm e}^{-b^{2}k^{2}/4a} \,{\rm d}k \\[3mm]&= {\rm i}b\,\sqrt{{\pi \over a}\,}\,{2\sqrt{a\,} \over \left\vert b\right\vert} \,{\sqrt{\pi\,} \over 2} \left(% {2 \over \sqrt{\pi\,}}\int_{0}^{b/2\sqrt{a\,}}{\rm e}^{-k^{2}}\,{\rm d}k \right) = {\rm i}\pi\,{\rm sgn}\left(b\right){\rm erf}\left(b \over 2\sqrt{a\,}\right) \end\begin{array}{|c|}\hline\\ \color{#ff0000}{\large\quad% \lim_{\epsilon \to 0^{+}}\int_{\mathbb R} {{\rm e}^{-ax^{2}\ +\ {\rm i}bx} \over x + {\rm i}\epsilon}\,{\rm d}x \color{#000000}{\ =\ } {\rm i}\pi \left[{\rm sgn}\left(b\right){\rm erf}\left(b \over 2\sqrt{a\,}\right) - 1\right] \quad} \\ \\ \hline \end-&--------------------------- \end{align}

-#-#-{align}

$$ -#-#-{array} $$