El semestre pasado terminé mi primera clase en variables complejas y, por supuesto, tuvimos que mostrar que $i^i$ era real. Eso me pregunto acerca de cantidades como $i^{i^i}$ y similar torres de energía.
Para mi investigación, me deje $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ donde $f(z)=(ui)^z$ $u \in \mathbb{R}$ y deje $f_n(z)$ denotar la cantidad de $f(f(\cdots f(z)$ donde $f$ se produce $n$ veces. I luego se grafican los puntos generados por $\{f(ui),f_2(ui),f_3(ui),\ldots,f_k(ui)\}$ para los distintos valores de $u$. Las parcelas que he obtenido son muy interesantes!
El de arriba es un complot de los puntos de $\{f(ui),f_2(ui),f_3(ui),\ldots,f_{100}(ui)\}$ con el eje real en el plano horizontal y el imaginario sobre la vertical y$u$, pasando de .05 a 2.05 en incrementos de .1. Antes de .05 sopla hasta y después de la 2, los puntos parecen asentarse en 3 grupos cerca de $(0,u),(0,0)$, e $(1,0)$. La segunda imagen es la misma que la primera, pero con líneas que conectan $f_k(ui)$$f_{k+1}(ui)$.
Sólo una nota, los puntos en espiral hacia adentro, con sucesivas arribazones, así que mi idea de la convergencia está bien fundada, y $|f_k(ui)|$ parece converger sólo para $0 < u <2$. ¿Alguien tiene alguna aclaración sobre los valores de $u$ para que este sistema converge o si esta ha sido escrito acerca de antes? Incluso la referencia a un método para la determinación de la existencia de un punto fijo, se agradecería.
