$f:[0,1] \to \mathbb R$ ser una función derivable con delimitada derivado, entonces es $\int_0^1 f'(x)=f(1)-f(0)$?

Question

Deje $f:[0,1] \to \mathbb R$ ser una función derivable tal que $\sup_{x\in [0,1]} |f'(x)|$ es finito. Entonces a partir de la $f'(x)=\lim_{n\to \infty} \dfrac{f(x+1/n)-f(x)}{1/n}$, lo $f'(x)$ es medible y también la integral de Lebesgue $\int_0^1|f'(x)|dx$ es finito, por lo tanto $f' \in L^1([0,1])$.

Mi pregunta es, ¿es cierto que $\int_0^1 f'(x)=f(1)-f(0)$ ?

Tenga en cuenta que el teorema fundamental del cálculo no se aplica aquí desde $f'(x)$ no es continua (no se conoce aún a ser Riemann integrable)

Answer 1

Lebesgue integrabilidad es suficiente. Se necesita de la siguiente versión de la FTC:

Deje ${[a,b]}$ ser un equipo compacto intervalo de positivos longitud, deje ${F: [a,b] \rightarrow {\bf R}}$ ser una función derivable, tal que ${F'}$ es absolutamente integrable. Entonces la integral de Lebesgue ${\int_{[a,b]} F'(x)\ dx}$ de ${F'}$ es igual a ${F(b) - F(a)}$.

Este es un resultado estándar de análisis real. Véase, por ejemplo, este excelente conjunto de notas de la conferencia por Terry Tao.