girar 90 grados alrededor de un círculo en un plano de coordenadas

Question

Pensé que la respuesta sería la raíz cuadrada de 3. Parecería que la coordenada x de Q sería simplemente la opuesta a la coordenada x de P.

No estoy seguro de si la imagen está siendo engañosa, o si simplemente no recuerdo muy bien mis matemáticas del instituto...

Sin embargo... Me han dicho que la respuesta correcta es la 1.

No entiendo por qué... ¿Podría alguien explicarlo, por favor?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Hay varios enfoques de "alta escuela" para la respuesta. Tendrás que ayudarme haciendo un dibujo.

Deja caer una perpendicular desde el punto $P$ a un punto $M$ en el negativo $x$ -eje. Mira el ángulo $MOP$ y llamarlo $\theta$ . En $\triangle OPM$ la hipotenusa $OP$ tiene una longitud $\sqrt{(\sqrt{3})^2+1}$ que es $2$ . Así, $\sin\theta=1/2$ .

Quizá recuerde los "ángulos especiales". El ángulo $\theta$ entre $0^\circ$ y $90^\circ$ tal que $\sin\theta=1/2$ es el $30^\circ$ ángulo.

Ahora, deja caer una perpendicular desde $Q$ al grano $N$ en lo positivo $x$ -eje. Sea $\phi$ sea el ángulo $QON$ . ¿Cuál es el tamaño de $\phi$ ? Es $180^\circ-(90^\circ+30^\circ)$ que es $60^\circ$ . Así, $\phi$ es mucho mayor que el $30^\circ$ ángulo $\theta$ por lo que la imagen no debe ser en absoluto simétrica sobre el $y$ -¡eje!

Obsérvese que el coseno del ángulo $\phi$ es $s/2$ . Pero el coseno del $60^\circ$ ángulo es $1/2$ . De ello se desprende que $s=1$ .

Sin ángulos especiales : ¿Las construcciones de $M$ y $N$ exactamente como en la primera solución, y que $\theta$ , $\phi$ ser como se describe allí.

Tenga en cuenta que $\theta+\phi=90^\circ$ Así que $\theta$ y $\phi$ son complementario ángulos.

Compara ahora $\triangle OPM$ y $\triangle QON$ . Tenemos $OP=QO$ y $\angle OPM=\angle QON$ . Así que los triángulos son congruente . Tenga en cuenta que $PM=ON$ . Pero $PM=1$ y por lo tanto $s=ON=1$ .

Utilizando algo de geometría analítica : La pendiente de la línea $OP$ es $-1/\sqrt{3}$ . Pero $OQ$ es perpendicular a $OP$ , por lo que su pendiente es la recíproco negativo de $-1/\sqrt{3}$ . Por lo tanto, la pendiente de $OQ$ es $\sqrt{3}/1$ .

Pero la pendiente de $OQ$ es $t/s$ . De ello se desprende que $t=s\sqrt{3}$ . Por el Teorema de Pitágoras, $s^2+t^2=4$ . Así que $s^2+3s^2=4$ . Desde $s$ es positivo, concluimos que $s=1$ .

Answer 2

Una respuesta sencilla a tu pregunta es que cuando rotas por $90$ grados (como se indica con el símbolo de ángulo recto), se intercambia el $x$ y $y$ coordenadas y luego negar uno o el otro, dependiendo de la dirección en que lo rotaste. En tu caso, tenías $(-\sqrt{3}, 1)$ que se convirtió en $(1, -\sqrt{3})$ y entonces, debido a que rotaste en el primer cuadrante, el punto final es $(1, \sqrt{3})$ .