De hecho, es un ejercicio en Hartshorne, Ex 2.4 para el segundo capítulo de la misma (P79): vamos a $A$ ser un anillo y $(X,\mathcal{O}_X)$ ser un esquema. Dado un morfismos $f:X\longrightarrow \operatorname{Spec} A$,nos hemos asociado un mapa sobre poleas $f^\sharp :\mathcal{O}_{\operatorname{Spec} A}\longrightarrow f_*\mathcal{O}_X$.Tomando global secciones de obtener un homomorphism $A\longrightarrow \Gamma (X,\mathcal{O}_X)$.Por lo tanto es natural mapa de $\alpha:\operatorname{Hom}_{\mathcal{Sch}}(X,\operatorname{Spec} A)\longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal{Rings}}(A,\Gamma (X,\mathcal{O}_X))$.Cómo mostrar que $\alpha$ es bijective?Mi enfoque es construir una inversa de a $\alpha$.A partir de un anillo de hom $\phi :A\longrightarrow \Gamma (X,\mathcal{O}_X)$,y un afín cubriendo $X=\bigcup_i \operatorname{Spec} B_i$,restringiendo $\Gamma (X,\mathcal{O}_X)$$\mathcal{O}_X (\operatorname{Spec}B_i)$, podemos obtener mapas de $\phi_i:A\longrightarrow B_i$,lo que induce $(f_i,f_{i}^{\sharp}):\operatorname{Spec}B_i\longrightarrow \operatorname{Spec} A$.Entonces quiero pegar estos $\operatorname{Spec}B_i$ juntos para obtener una morfismos $(f,f^\sharp):(X,\mathcal{O}_X)\longrightarrow (\operatorname{Spec}A,\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A})$.Me quedo atascado aquí:no sé cómo unirlos y compruebe que $(f,f^\sharp)$ es independiente de la cobertura $\{ \operatorname{Spec}B_i\}_i$.Es mi idea? Podría alguien ser tan amable de darme algunos consejos sobre este problema?Muchas gracias!
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Si quiere probar que la declaración en cuestión, mediante un encolado argumento, entonces usted necesita para comprobar el resultado en el caso particular de la $X=\mathrm{Spec}(B)$ es también afín. Esto le permitirá a la conclusión de que los mapas en las intersecciones de las afín abre un acuerdo sobre la solapa (debido a $\mathrm{Hom}(\mathrm{Spec}(B),\mathrm{Spec}(A))\rightarrow\mathrm{Hom}(A,B)$ es un bijection).
El resultado de $X=\mathrm{Spec}(B)$ es demostrado en Hartshorne, si recuerdo correctamente. En cualquier caso, la idea es que un anillo de mapa de $\varphi:A\rightarrow B$ induce un mapa continuo $\alpha:\mathrm{Spec}(B)\rightarrow\mathrm{Spec}(A)$ en virtud de que la imagen inversa de un estándar abierto de $D(f)\subseteq\mathrm{Spec}(A)$ es $D(\varphi(f))$ ($f\in A$). El homomorphism $\varphi$ induce naturalmente, para cada una de las $f\in A$, un anillo mapa de $A_f\rightarrow B_{\varphi(f)}$, es decir, un mapa de $\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}(D(f))\rightarrow\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(B)}(D(\varphi(f))$, compatible con la restricción, y dado que los conjuntos de $D(f)$ dar una base para la topología de $\mathrm{Spec}(A)$, esto es, se extiende de manera única a una gavilla de mapa de $\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}\rightarrow\alpha_*\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(B)}$. Para $\mathfrak{q}\in\mathrm{Spec}(B)$, $\mathfrak{p}=\alpha(\mathfrak{q})=\varphi^{-1}(\mathfrak{q})$, el tallo mapa de $A_\mathfrak{p}\rightarrow B_\mathfrak{q}$ también es inducida (a través de la característica universal de la localización) por $\varphi$, y es fácilmente visible a ser locales (por construcción). Este morfismos $\alpha$ también recupera $\varphi$ sobre el global de las secciones.
La singularidad de la siguiente manera en última instancia, debido a la exigencia de que el tallo de los mapas de morfismos de localmente anillado de los espacios locales y porque morfismos de poleas están determinados por los morfismos en los tallos. El requisito de que el tallo de los mapas de ser las fuerzas locales $\alpha(\mathfrak{q})=\varphi^{-1}(\mathfrak{q})$, y luego, de nuevo con la característica universal de la localización, no hay un único mapa de tallos $A_{\varphi^{-1}(\mathfrak{q})}\rightarrow B_\mathfrak{q}$ compatible con $\varphi$. En resumen, si desea recuperar los $\varphi$ sobre el global de las secciones y desea que su tallo mapas locales, sólo tienes una opción (todo lo que es inducida por la característica universal de la localización).
Quiero señalar que este argumento, en realidad se extiende a demostrar el resultado que buscas con $X$ sustituidas no sólo por un esquema arbitrario, sino por una arbitraria localmente anillado espacio. Esto significa que el resultado realmente no tiene nada que ver con el encolado (desde un arbitrario localmente anillado espacio no tiene que ser construido a partir afín a los planes). Lo fundamental es (como se mencionó anteriormente) que para un morfismos $\alpha:X\rightarrow\mathrm{Spec}(A)$ el tallo mapa de $\alpha_x^\sharp:A_{f(x)}\rightarrow\mathcal{O}_{X,x}$ es local para cualquier $x\in X$. Tenga en cuenta que aquí $f(x)$ es un primer ideal de $A$ $A_{f(x)}$ es la localización en la que prime (el tallo de la estructura de la gavilla de $\mathrm{Spec}(A)$$f(x)$). Si $\alpha^\sharp:A\rightarrow\mathcal{O}_X(X)$ es el mapa mundial de las secciones de los morfismos $\alpha$, luego de su compatibilidad con el tallo mapa de $\alpha_x^\sharp$ y el hecho de que $\alpha_x^\sharp$ es local realidad implica que $f(x)$ es la inversa de la imagen de la máxima ideal $\mathfrak{m}_x\subseteq\mathcal{O}_{X,x}$ por debajo del anillo mapa de $A\rightarrow\mathcal{O}_X\rightarrow\mathcal{O}_{X,x}$ (la primera flecha es $\alpha^\sharp$ y la segunda es tomar el tallo en $x$). Así el mapa mundial de las secciones determina la morfismos $\alpha$ sobre el subyacente de espacios topológicos. Una vez que sabes esto, se desprende también que el tallo mapas están unívocamente determinados.
El punto de todo esto es que el mapa que quieres demostrar que es un bijection es inyectiva. Para demostrar que es surjective, básicamente el argumento de arriba hacia atrás. Dado un anillo mapa de $\varphi:A\rightarrow\mathcal{O}_X(X)$, se puede definir $\alpha:X\rightarrow\mathrm{Spec}(A)$ sobre espacios topológicos tomando $f(x)$ para el primer ideal que es la inversa de la imagen de $\mathfrak{m}_x\subseteq\mathcal{O}_{X,x}$ bajo el mapa se menciona en el párrafo anterior. Usted puede probar entonces que para cualquier $f\in A$, $\alpha^{-1}(D(f))$ es $X_{\varphi(f)}$, que se define como el conjunto de todos los $x\in X$ tal que $\varphi(f)_x$ no está en el ideal maximal $\mathfrak{m}_x$$\mathcal{O}_{X,x}$. Este es un conjunto abierto de $X$ (el análogo de un estándar abierto en un esquema afín), por lo $\alpha$ es continua. La característica universal de la localización, junto con el hecho de que $\varphi(f)\vert_{X_{\varphi(f)}}\in\mathcal{O}_X(X_{\varphi(f)})$ es una unidad (esto se deduce de la definición de $X_{\varphi(f)}$) muestra que el anillo mapa $A\rightarrow\mathcal{O}_X(X)\rightarrow\mathcal{O}_X(X_{\varphi(f)})$ ($\varphi$ seguido por la restricción de $X$ $X_{\varphi(f)})$induce un único mapa $A_f\rightarrow\mathcal{O}_X(X_f)$ compatible con la restricción. Este tipo de datos es lo que usted necesita para un mapa de poleas $\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}\rightarrow\alpha_*\mathcal{O}_X$. Esta $\alpha$ recupera $\varphi$ sobre el global de las secciones y demuestra surjectivity.
Acaba de explicar, la razón por la que fui a través de todo esto era para ilustrar que la contigüidad entre el global de las secciones functor y $\mathrm{Spec}$ funciona en realidad en toda la categoría de local rodeada de espacios (no sólo el pleno de la subcategoría de los planes) y por lo que realmente no tiene nada que ver con el encolado de los mapas afín a los parches. Yo personalmente (cuando el aprendizaje de la geometría algebraica) encontrado este hecho realmente me ayudó y dio forma a la forma de pensar de los afín a los esquemas de entre localmente anillado espacios (o esquemas). Por ejemplo, cualquier localmente anillado espacio de $X$ admite un único morfismos a $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$, y el método de la prueba que yo he descrito muestra que se envía a un punto de $x\in X$ para el primer ideal generado por las características del residuo campo $ \kappa(x)$.
Creo que es lamentable que Hartshorne no dice, "usted puede pegar morfismos". He aquí un lema general que podrían ayudar:
Deje $(X, \mathscr{O}_X)$ $(Y, \mathscr{O}_Y)$ estar rodeada de espacios. Supongamos que tengo un abra la cubierta $\{U_i\}$ $X$ y morfismos $f_i\colon (U_i, \mathscr{O}_X|_{U_i}) \to Y$ tal que para cada una de las $i, j$ tenemos $f_i|_{U_i \cap U_j} = f_j|_{U_i \cap U_j}$. Entonces no hay una única morfismos $f\colon X \to Y$ de manera tal que cada una de las $f|_{U_i} = f_i$.
A mí me parece que una forma de evitar preocuparse por canonicity es para llevar a la familia de todos los afín abierto pone en $X$ de su cubierta. Hay algunos puntos técnicos, con el fin de aplicar incluso el lema; espero poder comentar más adelante.
