Empezar con un grupo topológico, tome el encuentro de las dos de uniformidad, y tomar la topología. Es el resultado de nuevo un grupo topológico?

Question

Y qué otra cosa puede decirse, si es así?

En más detalle: Decir $(G,\mathscr{T})$ es un grupo topológico. Se ha dejado la uniformidad $\mathscr{L}$ y un derecho uniformidad $\mathscr{R}$. (También tiene dos caras, la uniformidad $\mathscr{U}$, que es la combinación de los dos.)

Ahora, de uniformidad en un conjunto forma una completa red, por lo que podemos considerar también el encuentro de los dos, $\mathscr{V}$. Sin embargo, el encuentro de dos de uniformidad que el rendimiento de la misma topología no necesariamente de nuevo el rendimiento de la misma topología, así que es posible que $\mathscr{T}'$, la topología de la venida de $\mathscr{V}$, es más grueso que el original nuestra topología $\mathscr{T}$.

(Obviamente, esto no sucede si el grupo es equilibrada, es decir,$\mathscr{L}=\mathscr{R}$, ademas de no suceder si $\mathscr{T}$ es localmente compacto, ya que el cumple de dos de uniformidad dando el mismo localmente compacto topología de nuevo el rendimiento de la misma topología. Creo que también puede llegar a suceder si $G$ incrusta en un localmente compacto grupo, pero yo no trabajo todos los detalles allí. En realidad, no sé de un caso real donde esto no sucede, así que supongo que la primera pregunta que puedo hacer es, ¿hay alguna ejemplos reales de esto?)

Así que mi pregunta es, es $(G,\mathscr{T}')$ nuevo un grupo topológico? Obviamente, la inversión es continua, ya que $\mathscr{V}$ hace que la inversión uniformemente continua, pero no está claro qué pasaría con la multiplicación.

Si es un grupo topológico, entonces podemos preguntar cosas como, ¿cómo $\mathscr{V}$ para comparar $\mathscr{L}'$, $\mathscr{R}'$, $\mathscr{U}'$, y $\mathscr{V'}$? (Bueno, obviamente es más grueso que el último de estos). Y teniendo en cuenta $\mathscr{T} \mapsto \mathscr{T}'$ como una operación en grupo topologías en $G$, lo que sucede cuando repetimos? Cuando repetimos que transfinitely?

Answer 1

Esto ya ha sido contestado en MathOverflow por Todd Eisworth y Julien Melleray. El encuentro de estos dos uniformidad tiene un nombre, el Roelcke uniformidad, y se genera la topología original. Puede ser descrito simplemente, como la uniformidad generados por los séquitos $\{ (x,y): x\in VyV\}$ $V$ una vecindad del origen. Más información se puede encontrar en el libro Topológicos, Grupos y Estructuras Relacionadas por Arhangel'skii y Tkachenko.