Demostrar la convergencia de $\int^{\infty}_{0}\frac{\ln{x}}{1+x^{2}}\,dx$

Question

Yo estaba tratando de demostrar que la convergencia de las siguientes integrales:

$$\int^{\infty}_{0}\frac{\ln{x}}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x$$

La única manera (y, de hecho, bastante conveniente) que vino a la mente fue con el hecho de que si es convergente, entonces la serie

$$\sum^{\infty}_{n=1}\frac{\ln{n}}{1+n^{2}}$$

también deben converger. De hecho, es muy fácil demostrar con prueba de condensación de Cauchy en que lo hace. Sin embargo, me parece que no podemos utilizar: el teorema que establece que la convergencia de $\int^{\infty}_{a}f(x)dx$ $\sum^{\infty}_{n=[a+1]}f(n)$ $a\geq{0}$ se basa en la suposición de que $f$ está disminuyendo. Este no es el caso de nuestra función, ya que hemos

$$\lim_{x\to{0^{+}}}\frac{\ln{x}}{1+x^{2}}=-\infty$$

y nuestra función en el aumento de algunos $x_{0}\in(1,3)$. Yo, sin embargo, de romperlo en $\int^{y}_{0}f(x)dx$ $\int^{\infty}_{y}f(x)dx$ algunos $y\geq{3}$ y, a continuación, aplicar el teorema de los que he mencionado. Por desgracia, parece que la primera intregral no convergen...

Mi pregunta es, por tanto, como la siguiente: ¿se puede violar el supuesto de que $f$ está disminuyendo? Si sí, que ¿cómo podemos demostrar que todavía es legítimo usar ese teorema? Si no, ¿de qué otra manera podemos probar la convergencia de la mencionada integral?

Answer 1

Algunos de cancelación puede producirse si calculamos

$$\int_{1/n}^n \frac{\log x}{1+x^2} dx$$

Es decir, sustituto $y = 1/x$, entonces tenemos:

$$\int_{1/n}^n \frac{\log x}{1+x^2} dx = \int_n^{1/n} \frac{\log y^{-1}}{1+y^{-2}} \cdot \frac{-1}{y^2} dy = \int_n^{1/n} \frac{\log y}{y^2+1}dy$$

El intercambio de la integración de los límites de la integral sobre la $y$ lleva a la conclusión de que la integral de $1/n$ $n$es igual a cero, para todos los $n \in \Bbb N$ (o $n \in \Bbb R$, para el caso). Tomando el límite de la $n \to \infty$, se concluye que la integral es cero (con esta limitación especial el comportamiento de los límites). La restricción integral (independiente de la convergencia de ambos límites) no existe por el anterior argumento.

EDIT: Mi punto es que:

$$\lim_{n \to \infty} \int_{1/n}^n \frac{\log x}{1+x^2} dx = 0$$

EDIT2: Como se señaló en los comentarios, mi afirmación acerca de $\log x$ es basura. Si podemos demostrar que:

$$\lim_{(m,n) \to (0,\infty)} \int_m^n \frac{\log x}{1+x^2} dx$$

existe, necesariamente es igual a $0$ por la observación anterior.

Ahora ya para $x \in (0,1)$ tenemos:

$$\left\vert\frac{\log x}{1+x^2}\right\vert \le |\log x|$$

Lebesgue dominado convergencia se establece la primera integral converge en $(0,1)$ desde $\displaystyle \int_0^1 |\log x| dx = 1$. Para $(1,\infty)$, podemos observar:

$$\left\vert\frac{\log x}{1+x^2}\right\vert \le \frac {\log x}{x^2}$$

y la convergencia de la última integral sobre la $(1,\infty)$ sigue desde el momento de la sustitución de $y = x^{-1}$ de nuevo se obtiene:

$$\int_1^\infty \frac{\log x}{x^2} dx = -\int_0^1 \frac{\log y^{-1}}{y^{-2}} \frac{-1}{y^2} dy = - \int_0^1 \log y \ dy = 1$$

Por lo tanto, de nuevo por la convergencia dominada $\displaystyle \int_1^\infty \frac{\log x}{1+x^2} dx$ converge; llegamos a la conclusión de que la integral es $0$.

Mis más sinceras disculpas por los errores que estaban presentes anteriormente.

Answer 2

Realmente no necesita estar disminuyendo en todo momento. Simplemente necesitamos para ser , finalmente, la disminución de. Siempre podemos considerar la cola de la serie en la que está disminuyendo, y aplicar la prueba de condensación.

Sin embargo, eso no es realmente un enfoque útil, ya que (como se señaló) la primera integral no convergen. Trate de limitar el enfoque de $$\int_{1/n}^nf(x)dx$$ as $n\to\infty$, with a substitution $u=1/x$.

Answer 3

Pienso : $\displaystyle I=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{\ln x}{1+x^2}dx+\int\limits_{1}^{+\infty}\dfrac{\ln x}{1+x^2}dx.$

+) Tenemos: $\lim_{x\to 0^+}\dfrac{x^{\frac{1}{2}}\ln x}{1+x^2}=0$ $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{dx}{x^{\frac{1}{2}}}$ es convergente.

+ ) $\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{\frac{3}{2}}\ln x}{1+x^2}=0$ $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{dx}{x^{\frac{3}{2}}}$ es convergente.

$\Rightarrow I $ es convergente.