Invertibility de operador de Laplace de las funciones lisas

Question

Es el Laplaciano $\triangle:C^\infty(\Omega) \to C^\infty(\Omega)$, $\Omega\subseteq \mathbb{R}^n$, invertible? He leído Invertibility de operador laplaciano que habla sobre el pensamiento del Laplaciano como un operador sobre las distribuciones. Yo no sé mucho acerca de las distribuciones, así que estoy buscando una respuesta en la que se pega a honesto funciones.

Sé que (si $\overline{\Omega}$ es compacto) para armónica de las funciones de $u_1,u_2$ que está de acuerdo en $\partial \Omega$ debemos tener $u_1=u_2$. (Folland PDE, 2.15) Así que supongamos $\Omega$ satisface esa condición.

Ahora si $\triangle u = \triangle v$$\triangle(u-v)=0$. Pero no podemos decir $u=v$, debido a que no saben que ponerse de acuerdo sobre el límite. De hecho, la adición de una constante a $u$ conserva todas las otras igualdades así que estamos muertos si no hacemos otra suposición. Supongamos entonces que tenemos un fijo de la condición de límite $u = f$$\partial \Omega$. Entonces definitivamente tenemos $u=v$.

¿Qué acerca de surjectivity? Si me recete una $w \in C^\infty$, hay un $u$ la satisfacción de la condición de contorno tal que $\triangle u = w$?

Answer 1

Lo que Anthony Carapetis escribió en su respuesta, la solución débil, todavía está en sentido distributivo, es decir, la ecuación de Poisson $-\Delta u = f$ mantiene en $H^{-1}$.

Para el buen caso, no tenemos que entrar en el reino de la solución débil.

La singularidad de la solución, dado que existe una solución, se obtiene por el principio del máximo (ver Evans 2.2.3):

Si $\Omega$ es abierto y acotado (equivalente a su suposición de que $\overline{\Omega}$ es comapct), si $\Delta u = 0$$\Omega$, para algunas de las $u$ es al menos dos veces continuamente diferenciable en a $\Omega$, y continua hasta el límite de $\Omega$. Entonces $$ \max_{x\in \Omega} u(x) = \max_{x\in \partial\Omega} u(x). $$

La sustitución de $u$$-u$, vamos a ver que $$ \min_{x\in \partial\Omega} u(x)\leq u(x) \leq \max_{x\in \partial\Omega} u(x). $$ Por lo tanto $\Delta w = 0$ $w|_{\partial\Omega}=0$ nos de $w=0$. Donde esta $w$ aquí está la diferencia entre dos liso funciones de satisfacer el mismo valor en la frontera problema.

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Por la existencia, la construcción de la realidad es explícito! Esto se llama Verde de la representación de la fórmula, por favor refiérase a Evans 2.2.4 y Teorema 12.

Pero la cosa es que la construcción se basa en la existencia de $\phi(x,y)$ de manera tal que por un determinado $x\in \Omega$ $$ \begin{cases}\Delta_y \phi(x,y) = 0 & \text{in }\Omega, \\[4pt] \phi(x,y) = \Phi(y-x) &\text{on }\partial \Omega, \end{casos} \etiqueta{$\star$} $$ donde el $\Phi(y-x)$ es la función de Green de resolución de la $-\Delta u = \delta_x$ sobre todo $\mathbb{R}^n$. Si podemos demostrar la existencia de una solución por encima de valor en la frontera problema de la ecuación de Laplace $(\star)$, hemos terminado.

Por otra parte $u$ puede ser representado como: $$ u(x) = \int_{\Omega} f(y)G(x,y)dy - \int_{\partial \Omega} g(y) \frac{\partial G}{\partial n}(x,y)dS(y), $$ donde $\partial G/\partial n = \nabla G\cdot n$ es la derivada direccional, y $G(x,y) = \Phi(x-y)-\phi(x,y)$. Esta $u$ soluciona $$ \begin{cases}-\Delta u = f & \text{in }\Omega, \\[4pt] u = g &\text{on }\partial \Omega, \end{casos} $$ para $f$ $g$ satisfacer ciertas suavidad.

La existencia de una solución para $(\star)$ es un difícil problema del análisis, cuando se $\partial \Omega$ es relativamente "simple", podemos transformar el dominio en una bola que tiene una expresión explícita función de Green. La existencia en general limitada, suave dominio, podemos utilizar el método de Perron de los subarmónicos funciones (Ver Gilbarg-Trudinger 2.8, el ejercicio 2.10).

Answer 2

El surjectivity pregunta es simplemente preguntando si o no la ecuación de Poisson $\Delta u = w$ tiene soluciones para todos los términos fuente $w$. La respuesta es sí, pero esto no es sencillo de probar. El método más común es a través de una formulación variacional y algunos teoremas sobre espacios de Hilbert, que dar una "solución débil", que no es (a priori) $C^\infty$, pero vive en el llamado espacio de Sobolev $H^1 (\Omega)$. El "elíptica regularidad teoría" a continuación se da una prueba de que (mientras $\Omega$ es bastante agradable, abierto y acotado es suficiente) esta solución es, en realidad, $C^\infty$ cuando el término fuente, $w$ es.

Usted puede leer acerca de esta teoría en detalle en cualquier libro que cubre Elíptica teoría de la PDE - parece que Folland cubre en el capítulo 7.