Si $G$ es un simple grupo de orden $60$, ¿cómo podemos existe alguna $G\to A_6$ no trivial sin necesidad de utilizar el hecho de que $G\cong A_5$?

Question

Si $G$ es simple, cualquier homomorphism de $G$ debe ser trivial o inyectiva ya que el núcleo de un homomorphism es un subgrupo normal.

Si $G$ es simple de orden $60$, ¿cómo puedo demostrar que no existe un inyectiva mapa de $G\to A_6$ sin usar el hecho de que $G\cong A_5$?

Answer 1

Un simple grupo de $G$ orden $60$ tendrá seis Sylow $5$-subgrupos. Entonces $G$ actúa transitivamente sobre ellos (por conjugación), así que hay un homomorphism $\phi:G\to S_6$ con transitiva de la imagen. Desde la sencillez de $G$ fácilmente se deduce que $\phi$ es inyectiva, y $\phi(G)\subseteq A_6$.