Condición mínima de convergencia de las series de Fourier

Question

Yo estudio sobre el Análisis de Fourier con el libro de texto de Stein y Shakarchi. Recientemente, obtuve el sorprendente resultado de que, si $f$ es una función integrable en el círculo, entonces La suma parcial de las series de Fourier de la función $f$ converge a $f$ en un punto $\theta_0$ en el que $f$ es diferenciable.

De hecho, esta afirmación sigue siendo válida si sólo suponemos que $f$ satisface una condición de Lipschitz en $\theta_0$ .

Mi pregunta es la siguiente. ¿Cuál es la condición mínima de convergencia (uniforme/puntual) de la suma parcial de las series de Fourier de la función $f$ ??

Answer 1

Se puede escribir la serie de Fourier truncada en términos del núcleo de Dirichlet $$ D_N(\theta)=\frac{\sin((n+1/2)\theta)}{\sin(\theta/2)}. $$ La serie de Fourier truncada $S_N^f(\theta)$ que implica $1,\cos(n\theta),\sin(n\theta)$ para $1 \le n \le N$ se convierte en $$ S_N^f(\theta)-L = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}D_N(\theta')\left[\frac{f(\theta+\theta')+f(\theta-\theta')}{2}-L\right]d\theta'. $$ Como $N\rightarrow\infty$ la integral sobre $[\delta,\pi]$ del lado derecho siempre tiende a $0$ debido al lema de Riemann-Lebesgue, suponiendo únicamente que $f$ es absolutamente integrable en $[0,2\pi]$ . Así que la serie de Fourier en $\theta$ converge a $L$ si, para cada $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ y $N_0$ tal que $$ \left|\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\delta}D_N(\theta')\left[\frac{f(\theta+\theta')+f(\theta-\theta')}{2}-L\right]d\theta'\right| < \epsilon,\;\;\; N > N_0. $$ Esto es lo mejor que se puede decir en general. Lo anterior se cumple si, por ejemplo, se cumple la condición de Dirichlet-Dini, lo que significa que el término entre corchetes es absolutamente integrable en $[0,\delta]$ para algunos $\delta$ . Una condición del titular en $f$ en $\theta$ para cualquier exponente positivo pequeño de Holder implicará ciertamente esta integrabilidad absoluta, pero tal condición es también demasiado fuerte, lo que significa que no es necesaria para la convergencia. Nadie ha encontrado una condición "óptima". Si la gráfica de $f$ es casi una línea recta en $\theta$ entonces se obtiene la convergencia; la cantidad entre corchetes mide la asimetría de la gráfica de $f$ cerca de $\theta'=\theta$ . Por ello, las condiciones de diferenciabilidad implican fácilmente la convergencia.

Answer 2

Su pregunta se puede reformular de la siguiente manera. Sea $U$ sea el espacio de las series de Fourier uniformemente convergentes. Ese espacio admite una norma dada por $$ \|f\|_U = \sup_{N \geq 1} \| S_N(f) \|_\infty, $$ donde $S_n$ es $N^{th}$ -de la serie de Fourier. Su pregunta es cuál es el mayor subespacio $U_0 \subset U$ que puede describirse en términos de "condiciones de suavidad/continuidad".

El caso de la convergencia puntual puede definirse de forma similar. Fijar $\theta_0 \in [0,2 \pi)$ . Sea $V_{\theta_0}$ el espacio de las funciones para las que $S_{N}(f)(\theta_0) \to f(\theta_0)$ . ¿Cuál es el mayor $V_0 \subset V_{\theta_0}$ que puede describirse en términos de condiciones de continuidad?

Dudo mucho que existan esas condiciones mínimas. En la sumabilidad de las series hay una heurística bien conocida que afirma que no hay "frontera" entre las series convergentes y divergentes, es decir: cualquier criterio de convergencia puede relajarse y cualquier criterio de divergencia puede hacerse más rígido[*]. En el caso de la convergencia puntual, esta heurística puede convertirse en una afirmación concreta. Sea $\omega:\mathbb{R}_{\geq 0} \to \mathbb{R}_{\geq 0} $ sea una función continua y creciente que satisfaga que $\omega(0) = 0$ . Sea $\Lambda_\omega$ sean las funciones que satisfacen que $$ |f(\theta) - f(\theta_0)| \leq C \, \omega \big(|\theta - \theta_0| \big), $$ para todos $\theta$ lo suficientemente cerca de $\theta_0$ .

Observación: Si no hay un mínimo $\omega$ para lo cual: $f \in \Lambda_\omega$ implican que $S_N(f)(\theta_0) \to f(\theta_0)$ .

[*] Ver ¿Cómo concluyó Rudin su argumento de que no hay "frontera" entre las series convergentes y divergentes? .